Остроугольный треугольник

Содержание

Треугольник. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Остроугольный треугольник

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Треугольник. Полные уроки

Треугольник – определение и общие понятия

Треугольник – это такой простой многоугольник, состоящий из трех сторон и имеющий столько же углов. Его плоскости ограничиваются 3 точками и 3 отрезками, попарно соединяющими даные точки.

Все вершины любого треугольника, независимо от его разновидности, обозначаются заглавными латинскими буквами, а его стороны изображаются соответствующими обозначениями противоположных вершин, только не большими буквами, а малыми. Так, например, треугольник с вершинами обозначенными буквами А, В и С имеет стороны a, b, c.

Если рассматривать треугольник в евклидовом пространстве, то это такая геометрическая фигура, которая образовалась с помощью трех отрезков, соединяющих три точки, которые не лежат на одной прямой.

Посмотрите внимательно на рисунок, который изображен вверху. На нем точки А, В и С являются вершинами этого треугольника, а его отрезки носят названия сторон треугольника. Каждая вершина этого многоугольника образует внутри его углы.

Виды треугольников

Согласно величины, углов треугольников, они делятся на такие разновидности, как:• Прямоугольные;• Остроугольные;• Тупоугольные.

К прямоугольным принадлежат такие треугольники, у которых в наличии есть один прямой угол, а остальные два имеют острые углы.

Остроугольные треугольники – это те, у которых все его углы острые.

А если у треугольника имеется один тупой угол, а два остальных угла острые, то такой треугольник относится к тупоугольным.

Каждый из вас прекрасно понимает, что не все треугольники имеют равные стороны. И соответственно тому, какую длину имеют его стороны, треугольники можно поделить на:

• Равнобедренные;• Равносторонние;• Разносторонние.

Задание: Нарисуйте разные виды треугольников. Дайте им определение. Какое между ними отличие вы видите?

Основные свойства треугольников

Хотя эти простые многоугольники могут отличаться друг от друга величиной углов или сторон, но в каждом треугольнике есть основные свойства, характерны для этой фигуры.

В любом треугольнике:

• Общая сумма всех его углов равняется 180º.• Если он принадлежит к равносторонним, то каждый его угол равен 60º.• Равносторонний треугольник имеет одинаковые и ровные между собой углы. • Чем меньше сторона многоугольника, тем меньший угол расположен напротив него и наоборот напротив большей стороны находиться больший угол.

• Если стороны равные, то напротив них расположены равные углы, и наоборот.• Если взять треугольник и продлить его сторону, то в итоге мы образуется внешний угол. Он равен сумме внутренних углов.

• В любом треугольнике его сторона, независимо от того, какую бы вы не выбрали, все равно будет меньше, чем сумма 2-х других сторон, но больше чем их разность:

1. a < b + c, a > b – c; 2. b < a + c, b > a – c; 3. c < a + b, c > a – b.

Задание

В таблице приведены уже известные два угла треугольника. Зная общую сумму всех углов найдите, чему равен третий угол треугольника и занесите в таблицу:

1. Сколько градусов имеет третий угол?2. К какому виду треугольников он относится?

Признаки равности треугольников

• I признак

• II признак

• III признак

Высота, биссектриса и медиана треугольника

Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины фигуры к его противоположной стороне, называется высотой треугольника. Все высоты треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения всех 3-х высот треугольника является его ортоцентром.

Отрезок, проведенный из данной вершины и соединяющий ее на средине противоположной стороны, является медианой. Медианы, также как и высоты треугольника, имеют одну общую точку пересечения, так называемый центр тяжести треугольника или центроид.

Биссектриса треугольника – отрезок, соединяющий вершину угла и точку противоположной стороны, а также делящий этот угол пополам. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют центром окружности, вписанной в треугольник.

Отрезок, который соединяет середины 2-х сторон треугольника, называется средней линией.

Историческая справка

Такая фигура, как треугольник, была известна еще в Древние времена. Об этой фигуре и ее свойствах упоминалось на египетских папирусах четырех тысячелетней давности. Немного позже, благодаря теореме Пифагора и формуле Герона, изучение свойства треугольника, перешло на более высокий уровень, но все же, это происходило более двух тысяч лет назад.

В XV – XVI веках стали проводить много исследований о свойствах треугольника и в итоге возникла такая наука, как планиметрия, которая получила название «Новая геометрия треугольника».

Ученый из России Н. И.Лобачевский внес огромный вклад в познание свойств треугольников. Его труды в дальнейшем нашли применение как в математике, так и физике и кибернетике.

Благодаря знаниям свойств треугольников возникла и такая наука, как тригонометрия. Она оказалась необходимой для человека в его практических потребностях, так как ее применение просто необходимо при составлении карт, измерении участков, да и при конструировании различных механизмов.

Интересные факты

А какой самый известный треугольник вы знаете? Это конечно же Бермудский треугольник! Он получил такое название в 50-х годах из-за географического расположения точек (вершин треугольника), внутри которых, согласно существующей теории, возникали связанные с ним аномалии. Вершинами Бермудского треугольника выступают Бермудские острова, Флорида и Пуэрто-Рико.

Задание: А какие теории о Бермудском треугольнике слышали вы?

А известно ли вам, что в теории Лобачевского при сложении углов треугольника их сумма всегда имеет результат меньший, чем 180º. В геометрии Римана, сумма всех углов треугольника больше 180º, а в трудах Эвклида она равна 180 градусам.

Домашнее задание

Решите кроссворд на заданную тему

Вопросы к кроссворду:

1. Как называется перпендикуляр, который провели из вершины треугольника к прямой, расположенной на противоположной стороне?2. Как, одним словом можно назвать сумму длин сторон треугольника?3. Назовите треугольник, у которого две стороны равны?4. Назовите треугольник, у которого есть угол, равный 90°?5. Какое название носит большая, из сторон треугольника?6.

Название стороны равнобедренного треугольника?7. Их всегда три в любом треугольнике. 8. Какое название носит треугольник, у которого один из углов превышает 90°?9. Название отрезка, соединяющего вершину нашей фигуры со срединой противоположной стороны?10. В простом многоугольнике АВС, заглавная буква А является …?11.

Какое название носит отрезок, делящий угол треугольника пополам.

Вопросы к теме треугольников:

1. Дайте определение.2. Сколько высот он имеет?3. Сколько биссектрис у треугольника?4. Чему равна его сумма углов?5. Какие виды этого простого многоугольника вам известны? 6. Назовите точки треугольников, которые носят название замечательных.7.

Каким прибором можно измерить величину угла?8. Если стрелки часов показывают 21 час. Какой угол образуют часовые стрелки?9. На какой угол поворачивается человек, если ему дана команда «налево», «кругом»?10.

Какие еще определения вам известны, которые связанные с фигурой, имеющей три угла и три стороны?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Источник: http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA._%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B8

Тупоугольный треугольник: длина сторон, сумма углов. Описанный тупоугольный треугольник

Остроугольный треугольник

Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют “простейший многоугольник” с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является тупым углом.

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Но для того чтобы быть уверенным, что речь идет именно о законченной фигуре, а не о наборе отдельных вершин, необходимо проверить, чтобы соблюдалось основное условие: сумма углов тупоугольного треугольника равняется 180о. Это же верно и для других видов фигур с тремя сторонами.

Правда, в тупоугольном треугольнике один из углов будет еще больше 90о, а два оставшихся обязательно будут острыми. При этом именно наибольший угол будет находиться напротив самой длинной стороны. Правда, это далеко не все свойства тупоугольного треугольника.

Но и зная лишь эти особенности, школьники могут решать многие задачи по геометрии.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин.

Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон.

Для определения площади треугольника математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок.

Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник.

Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90о.

Если даны определенные значения длин сторон или градусы углов, то чертить тупоугольный треугольник необходимо в соответствии с ними. При этом необходимо стараться максимально точно изобразить углы, высчитывая их при помощи транспортира, и пропорционально данным в задании условиям отобразить стороны.

Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.

Так, каждому школьнику должно быть понятно определение биссектрисы, медианы, серединного перпендикуляра и высоты. Кроме того, он должен знать и их основные свойства.

Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону – на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.

Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2 : 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.

Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.

Серединный перпендикуляр – это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства.

А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности.

Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Вписанные треугольники

Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная.

Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры.

Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном – за его пределами.

Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R – это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150о.

Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S.

Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный.

В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется квадратному корню из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p – это полупериметр треугольника, c, v, b – его стороны.

Источник: http://fb.ru/article/135187/tupougolnyiy-treugolnik-dlina-storon-summa-uglov-opisannyiy-tupougolnyiy-treugolnik

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника – формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника

Остроугольный треугольник
Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры.

Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. / / Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника – формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.Для инженера это еще и единственная “жесткая” плоская фигура на свете.Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Остроугольный треугольник – это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, содержащий прямой угол.Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
Тупоугольный треугольник – это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)
(по соотношению сторон)
Равносторонний (правильный) треугольник – это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).
Равнобедренный тругольник – это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.
Разносторонний треугольник – это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).
Рассмотрим рис. ниже.Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.Угол Θ – называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ(а+с+b) – периметр треугольника.Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

  1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
  2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
  3. Сумма углов треугольника равна 180 °  (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).
  4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
  5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
    •  a < b + c,
    •  a > b – c;
    •  b < a + c,
    •  b > a – c;
    •  c < a + b,
    •  c > a – b.
Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

1. Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам). 2. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними). 3. Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).4. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны: 1. Гипотенуза и острый угол. 2. Катет и противолежащий угол. 3. Катет и прилежащий угол. 4. Два катета.5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.(р/а)=(q/b)=(r/c).

Признаки подобия треугольников:

  1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
  2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC2=AB2+AC2 см. рис. выше.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

  1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на  рис. выше  AE:CE = AB:BC
  2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

  1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
  2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
  3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
  4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

1.Произвольный треугольник – формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

  1. S=(1/2)*(a* ha) – по стороне и высоте.
  2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
  3. – по длинам сторон – формула площади Герона
  4. S=p*r – через периметр и радиус вписанной окружности
  5. S=(a*b*c) / (4R) – через длины сторон и радиус описанной оружности
a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.1. S=(1/2)*a*b2. S=(1/2)*c*hc
S=(a2*√3)/4
– Синус α – это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)- Косинус α – это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)- Тангенс α – это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)- Котангенс α – это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

Источник: https://tehtab.ru/guide/guidemathematics/perimsqvolgradrad/squaresofplainfigures/trianglesproporties/

Остроугольные и тупоугольные треугольники • ru.knowledgr.com

Остроугольный треугольник

Остроугольный треугольник – треугольник со всеми тремя из его углов, являющихся острым (меньше чем 90 °), в то время как тупоугольный треугольник – тот, у которого есть один тупой угол (больше, чем 90 °) и два острых угла. Начиная с угловой суммы треугольника к 180 ° ни у какого треугольника нет больше чем одного тупого угла.

Остроугольные и тупоугольные треугольники – два различных типов наклонных треугольников – те, которые не являются прямоугольными треугольниками в этом, у них нет угла на 90 °.

Свойства

Во всех треугольниках, средней точке – пересечении медиан, каждая из которых соединяет вершину с серединой противоположной стороны – и incenter центр круга, который является внутренне тангенсом всем трем сторонам – находятся в интерьере треугольника. Однако, в то время как orthocenter и circumcenter находятся в интерьере остроугольного треугольника, они – внешность к тупоугольному треугольнику.

orthocenter – пункт пересечения трех высот треугольника, каждая из которых перпендикулярно соединяет сторону с противоположной вершиной.

В случае остроугольного треугольника все три из этих сегментов лежат полностью в интерьере треугольника, и таким образом, они пересекаются в интерьере.

Но для тупоугольного треугольника, высоты от двух острых углов пересекают только расширения противоположных сторон. Эти высоты

упадите полностью вне треугольника, приводящего к их пересечению друг с другом (и следовательно с расширенной высотой от тупоугольной вершины) происходящий во внешности треугольника.

Аналогично, треугольник circumcenter пересечение перпендикулярных средних линий этих трех сторон, которое является центром круга, который проходит через все три падения вершин в остроугольном треугольнике, но вне тупоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник – промежуточный случай: и его circumcenter и его orthocenter лежат на его границе.

В любом треугольнике любые две угловых меры A и противоположные стороны Ba и b соответственно связаны согласно
:

Это подразумевает, что самая длинная сторона в тупоугольном треугольнике – одно противоположное тупоугольная вершина.

У

остроугольного треугольника есть три надписанных квадрата, каждый с одной стороной, совпадающей с частью стороны треугольника и с другими двумя вершинами квадрата на оставлении двумя сторонами треугольника.

(В прямоугольном треугольнике два из них слиты в тот же самый квадрат, таким образом, есть только два отличных надписанных квадрата.

) Однако у тупоугольного треугольника есть только один надписанный квадрат, одна из чей сторон совпадают с частью самой длинной стороны треугольника.

Стороны

Если угол C тупой тогда для сторон a, b, и c, у нас есть

:

с левым неравенством приближающееся равенство в пределе только как угол вершины равнобедренного треугольника приближается к 180 °, и с правильным неравенством приближающееся равенство только, как тупой угол приближается к 90 °.

Если треугольник острый тогда

:

Высота

Если C – самый большой угол, и h – высота от вершины C, то для остроугольного треугольника

:

с противоположным неравенством, если C тупой.

Медианы

С самой длинной стороной c и медианами m и m с других сторон,

:

для остроугольного треугольника, но с неравенством, полностью измененным для тупоугольного треугольника.

Медиана m с самой длинной стороны больше или меньше, чем circumradius для остроугольного или тупоугольного треугольника соответственно:

:

для остроугольных треугольников, с противоположным для тупоугольных треугольников.

Тригонометрические функции

Для остроугольного треугольника мы имеем, для углов A, B, и C,

:

с обратным неравенством, держащимся для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника с circumradius R,

:

и

:

Для остроугольного треугольника,

:

с обратным неравенством для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника,

:

Для любого треугольника тройная идентичность тангенса заявляет, что сумма тангенсов углов равняется их продукту. Так как у острого угла есть положительная стоимость тангенса, в то время как у тупого угла есть отрицательный, выражение для продукта тангенсов показывает этому

:

для остроугольных треугольников, в то время как противоположное направление неравенства держится для тупоугольных треугольников.

У

нас есть

:

для остроугольных треугольников и перемены для тупоугольных треугольников.

Для всех остроугольных треугольников,

:

Для всех остроугольных треугольников с радиусом вписанной окружности r и circumradius R,

:

Для остроугольного треугольника с областью К,

:

Circumradius, радиус вписанной окружности и экс-радиусы

Сумма circumradius R и радиуса вписанной окружности r является меньше, чем или больше, чем половина суммы самых коротких сторон a и b, поскольку треугольник острый или тупой:

:

если треугольник острый, в то время как обратное неравенство держится для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника с медианами m, m, и m и circumradius R, у нас есть

:

в то время как противоположное неравенство держится для тупоугольного треугольника.

Кроме того, остроугольный треугольник удовлетворяет

:

с точки зрения радиусов экс-круга r, r, и r,

снова с обратным неравенством, держащимся для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника с полупериметром s,

:

и обратное неравенство держится для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника с областью К,

:

Расстояния, вовлекающие центры треугольника

Для остроугольного треугольника расстояние между circumcenter O и orthocenter H удовлетворяет

:

с противоположным неравенством, держащимся для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника расстояние между incircle сосредотачивается I, и orthocenter H удовлетворяет

:

где r – радиус вписанной окружности с обратным неравенством для тупоугольного треугольника.

Инскрибед-Сквер

Если у одного из надписанных квадратов остроугольного треугольника есть длина стороны x, и у другого есть длина стороны x с x, то

:

Два треугольника

Если у двух тупоугольных треугольников есть стороны (a, b, c) и (p, q, r) с c и r быть соответствующими самыми длинными сторонами, то

:

Треугольники со специальными именами

Треугольник Calabi, который является единственным неравносторонним треугольником, для которого самый большой квадрат, который помещается в интерьер, может быть помещен любым из трех различных способов, тупой и равнобедренный с основными углами 39.1320261…, ° и треть удят рыбу 101.7359477… °.

Равносторонний треугольник, с тремя углами на 60 °, острый.

Треугольник Морли, сформированный из любого треугольника пересечениями его смежного угла trisectors, равносторонний и следовательно острый.

Золотой треугольник – равнобедренный треугольник, в котором отношение дублированной стороны основной стороне равняется золотому отношению. Это остро, с углами 36 °, 72 ° и 72 °, делая его единственным треугольником с углами в пропорциях 1:2:2.

Треугольники со сторонами целого числа

Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон острый, имея стороны (13,14,15) и высоту со стороны 14 равных 12.

Треугольник самого маленького периметра со сторонами целого числа в арифметической прогрессии и самый маленький периметр треугольник со стороной целого числа с отличными сторонами, тупые: а именно, тот со сторонами (2, 3, 4).

Единственные треугольники с одним углом, являющимся дважды другим и имеющим стороны целого числа в арифметической прогрессии, острые: а именно, (4,5,6) треугольник и его сеть магазинов.

Нет никаких острых треугольников со стороной целого числа с областью = периметр, но есть три тупых, имея стороны (6,25,29), (7,15,20), и (9,10,17).

Самый маленький треугольник со стороной целого числа с тремя рациональными медианами острый, со сторонами (68, 85, 87).

У

треугольников Херона есть стороны целого числа и область целого числа. Наклонный треугольник Херона с самым маленьким периметром острый, со сторонами (6, 5, 5). Два наклонных треугольника Херона, которые разделяют самую маленькую область, являются острым со сторонами (6, 5, 5) и тупым со сторонами (8, 5, 5), область каждого являющегося 12.

Источник: http://ru.knowledgr.com/19680470/%D0%9E%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%D0%98%D0%A2%D1%83%D0%BF%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Остроугольный треугольник

Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Треугольники

      Определение 1. Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Рис.1

      На рисунке 1 изображена высота BD, проведённая из вершины B треугольника ABC. Точка D – основание высоты.

      Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

      Утверждение. Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Рис.2

      Доказательство. Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

      В силу признака подобия прямоугольных треугольников треугольники BCD и ACD подобны. Следовательно,

      Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD, что и требовалось доказать.

      Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольникВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника.

Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Тупоугольный треугольникВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника.

Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Остроугольный треугольник
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника.

Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Тупоугольный треугольник
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Остроугольный треугольник

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Тупоугольный треугольник

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Ортоцентр треугольника

      Теорема 1. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Рис.3

      Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1, B1 и C1, как показано на рисунке 3.

      В силу параллельности прямых AC и C1A1, а также BC и C1B1 четырёхугольники   AC1BC   и   ABA1C – параллелограммыпараллелограммы, откуда вытекают равенствавытекают равенствавытекают равенства

C1B = AC = BA1.

      Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1.

      В силу параллельности прямых BC и C1B1, а также AB и B1A1 четырёхугольники   AC1BC   и   ABCB1 – параллелограммы,параллелограммы, откуда вытекают равенствавытекают равенствавытекают равенства

C1A = BC = A1B1.

      Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1.

      В силу параллельности прямых AB и B1A1, а также AC и C1A1 четырёхугольники   ABA1C   и   ABCB1 – параллелограммыпараллелограммы, откуда вытекают равенствавытекают равенствавытекают равенства

A1C = AB = B1C.

      Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1.

      Таким образом, высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами треугольника A1B1C1 (рис. 4),

Рис.4

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

      Теорема 1 доказана.

      Определение 2. Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

      У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольник

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Тупоугольный треугольник

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентрический треугольник

      Решим следующую задачу.

      Задача. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC.

Рис.5

      Решение. Рассмотрим треугольники ADC и BEC. Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

      Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники   DCE   и   ABC   подобны. Решение задачи завершено.

      Из подобия треугольников   ABC   и   EDC (рис.5) вытекает важное следствие.

      Следствие 1.

      Определение 3. Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Рис.6

      Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

      Следствие 2. Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Рис.7

      Тогда справедливы равенства

      Из следствия 2 вытекает теорема 2.

      Теорема  2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

      Доказательство. Воспользовавшись следствием 2, получаем:

что и требовалось доказать.

Задача Фаньяно

      Задача Фаньяно. Рассматриваются всевозможные треугольники   DEF,   вершины    D,   E   и   F   которых лежат на сторонах   BC,   AC и   AB   остроугольного треугольника   ABC   соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника   ABC.

      Решение. Пусть   DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом   D1   точку, симметричную точке   D   относительно прямой   AC, и обозначим символом   D2   точку, симметричную точке D относительно прямой   AB (рис.8).

Рис.8

      Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2.

Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно.

Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Рис.9

      Заметим также, что выполнено равенство

AD = AD1 = AD2.

      Кроме того, выполнено равенство

      Поэтому

      Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD  будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC.

Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC, проведённой из вершины A, а вершины E и F построены по описанной выше схеме.

Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF  треугольник с наименьшим периметром является единственным.

      Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A, длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

      Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

      Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

      Лемма. Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Рис.10

      В этом случае отрезок D1D2  проходит через точки F и E.

      Доказательство. Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

      Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2, а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

      Следовательно,

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1, F, E, D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

      Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Источник: https://www.resolventa.ru/uslugi/ege/egebase2.htm

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

    ×
    Рекомендуем посмотреть