Площадь прямого треугольника

Содержание

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямого треугольника

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равняется 90°. Его площадь можно найти, если известны два катета. Можно, конечно, пойти и длинным путем – найти гипотенузу и просчитать площадь по формуле Герона, но в большинстве случаев это только займет лишнее время. Именно поэтому формула площади прямоугольного треугольника выглядит так:

Площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения катетов.

Пример расчета площади прямоугольного треугольника.
Дан прямоугольный треугольник с катетами a = 8 см, b = 6 см.

Вычисляем площадь:
Площадь равна: 24 см2

Также в прямоугольном треугольнике применяется теорема Пифагора. – сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.

Формула площади равнобедренного прямоугольного треугольника вычисляется также как и обычного прямоугольного треугольника.

Пример расчета площади равнобедренного прямоугольного треугольника:
Дан треугольник с катетами a = 4 см, b = 4 см.

Вычисляем площадь:
Вычисляем площадь:=8 см2

Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе может использоваться, если в условии дан один катет. Из теоремы Пифагора находим длину неизвестного катета.

К примеру, дана гипотенуза c и катет a, катет b будет равен:
Далее вычисляем площадь по обычной формуле. Пример расчета формулы площади прямоугольного треугольника по гипотенузе идентичен описанному выше.

Рассмотрим интересную задачу, которая поможет закрепить знания формул для решения треугольника.
Задача: площадь прямоугольного треугольника равняется 180 кв. см. найдите меньший катет треугольника, если он меньше второго на 31 см.
Решение: обозначим катеты a и b.

Теперь подставим данные в формулу площади:, еще мы знаем, что один катет меньше другого a – b = 31 см
Из первого условия получаем, что
Подставляем данное условие во второе уравнение:

    Так как мы находили стороны, то знак минус убираем.

    Получается, что катет a = 40 см, а b = 9 см.

    Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

    Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

    Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги.

    Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.

    Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

    где l–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
    Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
    где L–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора.

    Получим:

    Тогда площадь кольца будет равна:Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.
    Формула имеет вид:

    Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.Площадь кольца вычисляется по формуле:

    Подставив значения из условия задачи, имеем:

    Page 3

    Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

    Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.

    Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

    Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
    Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:

    Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

    где S – основание пирамиды.
    Площадь данного круга вычисляется по формуле: Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней

    Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.

    А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
    V≥

    Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
    Радиус этой окружности будет равен:

    Площадь данного круга вычисляется по формуле:
    Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
    Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.

    А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен

    Два полученных неравенства равны при любом n.

    Если то
    Тогда из первого неравенства следует, что V≥
    Из второго неравенства

    Отсюда следует, что

    Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

    Пример расчета объема конусаНайти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.

    Объем конуса вычисляется по формуле:

    Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

    Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

    Отсюда:

    Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.Имеем:

    Page 4

    При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

    Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .

    Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.

    Из подобия этих конусов получаем:
    Выразим x:

    Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
    Применив формулу разницы кубов, имеем:

    Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

    Пример расчета объема усеченного конусаРадиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.

    Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
    Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник.

    Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.

    Тогда:

    Тогда высота усеченного конуса будет равна:

    Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:

    Page 5

    При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

    Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

    Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

    Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

    Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

    Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

    Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

    Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

    Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

    Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

    Page 6

    У большинства детей младшего школьного возраста хорошо развита механическая память, которая задействуется при выучивании правил.

    Но для отдельных детей, а особенно творческих личностей, зубрежка является невыносимой.

    Родители, думающие, что их чадо не способно освоить изучение таблицы умножения и поэтому в дальнейшем будет отставать в математике, заблуждаются. На самом деле к нему нужен совершенно другой, особый подход.

    Читать далее

    Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.
    Читать далее

    Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100
    Читать далее

    Таблица факториалов от 1 до 40
    Читать далее

    Page 7

    При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

    Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

    Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

    Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

    Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

    Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

    Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

    Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

    Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

    Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

    Источник: http://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-pryamougolnogo-treugolnika/

    Как найти площадь треугольника

    Площадь прямого треугольника

    Как вы можете помнить из школьной программы по геометрии, треугольник – это фигура, образованная из трех отрезков, соединяющихся тремя точками, не лежащими на одной прямой. Треугольник образует три угла, отсюда и название фигуры. Определение может быть и иным.

    Треугольник можно так же назвать многоугольником с тремя углами, ответ будет так же верным. Треугольники делятся по числу равных сторон и по величине углов в фигурах.

    Так выделяют такие треугольники, как равнобедренный, равносторонний и разносторонний, а так же прямоугольный, остроугольный и тупоугольный, соответственно.

    Формул вычисления площади треугольника очень много. Выбирать, как найти площадь треугольника, т.е. какой формулой воспользоваться, только вам. Но стоит отметить лишь некоторые обозначения, которые используются во многих формулах вычисления площади треугольника. Итак, запоминайте:

    S – это площадь треугольника,

    a, b, c – это стороны треугольника,

    h – это высота треугольника,

    R – это радиус описанной окружности,

    p – это полупериметр.

    Вот основные обозначения, которые могут вам пригодиться, если вы совершенно забыли курс геометрии. Ниже будут приведены наиболее понятные и не сложные варианты вычисления неизвестной и загадочной площади треугольника. Это не сложно и пригодится как вам в домашних нуждах, так и для помощи своим детям в домашнем задании. Давайте вспомним, как вычислить площадь треугольника проще простого:

    В нашем случае площадь треугольника равна: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв.см. Помните, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах (кв.см.).

    Прямоугольный треугольник и его площадь

    Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам (потому называется прямым). Прямой угол образуют две перпендикулярные линии (в случае с треугольником – два перпендикулярных отрезка). В прямоугольном треугольнике прямой угол может быть только один, т.к.

    сумма всех углов одного любого треугольника равна 180 градусам. Получается, что 2 других угла должны делить между собой оставшиеся 90 градусов, например 70 и 20, 45 и 45 и т.д. Итак, основное вы вспомнили, осталось узнать, как найти площадь прямоугольного треугольника.

    Представим, что перед нами вот такой прямоугольный треугольник, и нам необходимо найти его площадь S.

    1. Самый простой способ определения площади прямоугольного треугольника высчитывается по следующей формуле:

    В нашем случае, площадь прямоугольного треугольника равна: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

    В принципе, больше нет необходимости выверения площади треугольника иными способами, т.к. в быту пригодится и поможет только этот. Но существуют и варианты измерения площади треугольника через острые углы.

    2. Для других способов вычисления необходимо иметь таблицу косинусов, синусов и тангенсов. Посудите сами, вот какие варианты вычисления площадей прямоугольного треугольника еще можно использовать:

    Мы решили воспользоваться первой формулой и с небольшими помарками (чертили в блокноте и использовали старую линейку и транспортир), но у нас вышел верный расчет:

    S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). У нас вышли такие результаты 3,6=3,7, но с учетом сдвига клеток, этот нюанс нам можно простить.

    Равнобедренный треугольник и его площадь

    Если перед вами стоит задача вычислить формулу равнобедренного треугольника, то проще всего воспользоваться главной и как считается классической формулой площади треугольника.

    Но для начала, перед тем, как найти площадь равнобедренного треугольника, узнаем, что это за фигура такая. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти две стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. Не путайте равнобедренный треугольник с равносторонним, т.е.

    правильным треугольником, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике нет особых тенденций к углам, точнее к их величине. Однако углы у основания в равнобедренном треугольнике равны, но отличаются от угла между равными сторонами.

    Итак, первую и главную формулу вы уже знаете, осталось узнать, какие еще формулы определения площади равнобедренного треугольника известны:

    Как вы можете заметить, в этих формулах активно используются углы, их величины, косинусы, синусы и тангенсы.

    По этой причине, без специальной книжки вам не обойтись, хотя всю информацию вы сможете найти в Интернете.

    Отметим только, что в формулах угол альфа – тот, что находится между боковой стороной и основанием, а угол гамма (y) – тот, что находится между равными боковыми сторонами треугольника.

    Источник: http://KakZnatok.ru/raznoe/kak-najti-ploshhad-treugolnika/

    Площадь треугольника – формулы и примеры решения задач

    Площадь прямого треугольника

    Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров.

    Формулы представлены в виде картинки, здесь же приведены пояснения по применению или обоснованию их правильности.

    Также на отдельном рисунке указаны соответствия буквенных обозначений в формулах и графических обозначений на чертеже.

    Примечание. Если же треугольник обладает особыми свойствами (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), можно использовать формулы, приведенные ниже, а также дополнительно специальные, верные только для треугольников с данными свойствами, формулы: 

      

    Формулы площади треугольника

    Пояснения к формулам:
    a, b, c – длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
    r – радиус вписанной в треугольник окружности
    R – радиус описанной вокруг треугольника окружности
    h – высота треугольника, опущенная на сторону
    p – полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра)
    α – угол, противолежащий стороне a треугольника
    β – угол, противолежащий стороне b треугольника
    γ – угол, противолежащий стороне c треугольника
    hahbh– высота треугольника, опущенная на сторону a, b, c

    Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

    • Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на  два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
    • Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2 ) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
    • Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
    • Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
    • Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)
    • Формула Герона (6) – это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
    • Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
    • Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
    • Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
    • Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
    • Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин, которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин. Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

    См. также площадь равнобедренного треугольника.

    Примечание. Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет – пишите об этом в форуме.

    В решениях вместо символа “квадратный корень” может применяться функция sqrt(), в которой sqrt – символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

     Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

    Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

    Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

    Решение.

    Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока. Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна

    S=1/2 ab sin γ

    Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу: S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60   

    В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов. Он будет равен корню из трех на два. 
    S = 15 √3 / 2

    Ответ: 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

    Задача. Найти площадь равностороннего треугольника

    Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

    Решение.

    Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

    S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) )

    Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

    S = √3 / 4 * a2

    S = √3 / 4 * 32

    S = 9 √3 / 4

    Ответ: 9 √3 / 4. 

    Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

    Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

    Решение.

    Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

    Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.

    Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

    S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) ) 
    (см. первую строку рисунка внизу)

    Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
    Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

    S2 = 1/4 sqrt( ( 4a + 4b + 4c)(4b + 4c – 4a)(4a + 4c – 4b)(4a + 4b -4c) )
    (см. вторую строку на рисунке внизу)

    Как видно, 4 – общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
    Тогда

    S2 = 1/4 sqrt( 4 * 4 * 4 * 4 ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) ) – на третьей строке рисунка
    S2 = 1/4 sqrt( 256 ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) ) – четвертая строка

    Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня    
    S2 = 16 * 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) )
    S2 = 4 sqrt( ( a + b + c)(b + c – a)(a + c – b)(a + b -c) )
    (см. пятую строку рисунка внизу)

    Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
    Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

    S2 / S = 16
    (см. внизу подробнее запись в виде дроби и ее сокращения – в последней строке)

    На рисунке логика вычисления решения, описанного выше, приведена уже в виде формул (одна за другой)

    Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз

    10380.6235  

     Сумма углов треугольника | Описание курса | Биссектриса 

    Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson133/

    Площадь треугольника — формулы и калькулятор онлайн

    Площадь прямого треугольника

    Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали 21 калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного.

    Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

    {S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)}

    Формула для нахождения площади треугольника через 2 стороны и угол:

    {S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)}, где a, b — стороны треугольника, α — угол между ними.

    Площадь треугольника через основание и высоту

    {S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}

    Формула для нахождения площади треугольника через основание и высоту:

    {S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}, где a — основание треугольника, h — высота треугольника.

    Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

    {S= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}}

    Формула для нахождения площади треугольника через описанную окружность и стороны:

    {S= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}}, где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

    Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

    {S= r \cdot \dfrac{a + b + c}{2}}

    Формула для нахождения площади треугольника через вписанную окружность и стороны:

    {S= r \cdot \dfrac{a + b + c}{2}}, где a, b, c — стороны треугольника, r — радиус вписанной окружности.

    Формулу можно переписать иначе, если учитывать, что {\dfrac{a + b + c}{2}} — полупериметр треугольника. В этом случае формула будет выглядеть так: S = {r \cdot p}, где p — полупериметр треугольника.

    Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

    {S= \dfrac{a2}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\gamma)}}
    {\gamma = 180 – (\alpha + \beta)}

    Формула для нахождения площади треугольника через сторону и 2 прилежащих угла:

    {S= \dfrac{a2}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\gamma)}}, где a — сторона треугольника, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол, который можно найти по формуле:

    {\gamma = 180 — (\alpha + \beta)}

    Площадь треугольника по формуле Герона

    {S= \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}
    {p= \dfrac{a+b+c}{2}}

    Формула для нахождения площади треугольника по формуле Герона (если известны 3 стороны):

    {S= \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}, где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр треугольника, который можно найти по формуле p = {\dfrac{a + b + c}{2}}

    Площадь прямоугольного треугольника через 2 стороны

    {S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b}

    Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по двум сторонам:

    {S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b}, где a, b — стороны треугольника.

    Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

    {S= \dfrac{1}{4} \cdot c2 \cdot sin (2 \alpha)}

    Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу:

    {S= \dfrac{1}{4} \cdot c2 \cdot sin (2 \alpha)}, где c — гипотенуза треугольника, α — любой из прилегающих острых углов.

    Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

    {S= \dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot tg (\alpha)}

    Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:

    {S= \dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot tg (\alpha)}, где a — катет треугольника, α — прилежащий угол.

    Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

    {S= r \cdot (r + c)}

    Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе:

    {S= r \cdot (r+c)}, где c — гипотенуза треугольника, r — радиус вписанной окружности.

    Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

    {S= c_{1} \cdot c_{2}}

    Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по вписанной окружности:

    {S= c_{1} \cdot c_{2}}, где c1 и c2 — части гипотенузы.

    Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

    {S= (p-a) \cdot (p-b)}
    {p= \dfrac{a+b+c}{2}}

    Формула Герона для прямоугольного треугольника выглядит так:

    {S= (p-a) \cdot (p-b)}, где a, b — катеты треугольника, p — полупериметр прямоугольного треугольника, который рассчитывается по формуле p = {\dfrac{a + b + c}{2}}

    Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

    {S=\dfrac{b}{4} \sqrt{4 \cdot a2-b2}}

    Формула площади равнобедренного треугольника через основание и сторону:

    {S=\dfrac{b}{4} \sqrt{4 \cdot a2-b2}}, где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника

    Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

    {S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)}

    Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

    {S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)}, где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника, α — угол между основанием и стороной.

    Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

    {S=\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h}

    Формула площади равнобедренного треугольника через основание и высоту:

    {S=\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h}, где b — основание треугольника, h — высота, проведенная к основанию.

    Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

    {S=\dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot sin(\alpha)}

    Формула площади равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними:

    {S=\dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot sin(\alpha)}, где a — боковая сторона треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

    Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

    {S=\dfrac{b2}{4 \cdot tg \dfrac{\alpha}{2}}}

    Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

    {S=\dfrac{b2}{4 \cdot tg \dfrac{\alpha}{2}}}, где b — основание треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

    Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

    {S= \dfrac{3 \sqrt{3} \cdot R2}{4}}

    Формула площади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

    {S= \dfrac{3 \sqrt{3} \cdot R2}{4}}, где R — радиус описанной окружности.

    Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

    {S= 3 \sqrt{3} \cdot r2}

    Формула площади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

    {S= 3 \sqrt{3} \cdot r2}, где r — радиус вписанной окружности.

    Площадь равностороннего треугольника через сторону

    {S= \dfrac{\sqrt{3} \cdot a2}{4}}

    Формула площади равностороннего треугольника через сторону:

    {S= \dfrac{\sqrt{3} \cdot a2}{4}}, где a — сторона треугольника.

    Площадь равностороннего треугольника через высоту

    {S= \dfrac{h2}{\sqrt{3}}}

    Формула площади равностороннего треугольника через высоту:

    {S= \dfrac{h2}{\sqrt{3}}}, где h — высота треугольника.

    Источник: https://mnogoformul.ru/ploshhad-treugolnika-formuly-i-kalkulator-online

    Площадь треугольника

    Площадь прямого треугольника

    Необходимость вычисления площади различных фигур, в том числе и треугольных, возникла за несколько веков до нашей эры. Над этим задумывались ученые и астрономы Древнем Египте.

    В жизни иногда встречаются ситуации, когда требуется искать в закромах памяти знания из далеких школьных лет: подошла очередь ремонта в доме и нужно рассчитать количество необходимого материала, или потребовалось узнать площадь земельного участка в виде треугольника.  

    Вычисление площадей в Древнем Египте

    Человеческая память не может сразу воспроизвести убранные за ненадобностью школьные знания, что вполне естественно. Поэтому здесь собраны основные методы для расчета площади большинства видов треугольника.

    Вычислить площадь треугольника можно различными вариантами, применяя определенные формулы. Методы расчета зависят от типов треугольных фигур и от того, какие вычислительные данные известны.

    Треугольник: определение и виды фигуры

    Из курса геометрии известно, что треугольник представляет собой многоугольную фигуру, которая имеет три лежащие на разных линиях точки, соединенные между собой отрезками.

    Размер площади треугольника выражается количеством заключенных в ней квадратных единиц и представляет собой положительное число, которое показывает размер фигуры, в части поверхности, ограниченной тремя отрезками в замкнутый контур.

    Треугольник

    В зависимости от длины сторон и величины угла выделяется несколько разновидностей треугольников:

    • прямоугольный, имеющий один прямой угол;
    • остроугольный, все углы которого острые, то есть меньше 90 градусов;
    • тупоугольный, содержащий один тупой угол в диапазоне от 90 до 180 градусов;
    • равнобедренный, имеющий две равные по длине боковые стороны;
    • равносторонний, у которого все три стороны имеют одинаковое значение.

    Для расчета площади каждого типа треугольной фигуры используется специальная формула.

    Как вычислить площадь треугольника?

    Классические формулы расчета площади треугольных фигур соотносятся с видами треугольников. Приведенные ниже формулы определения площади произвольного треугольника подойдут для установления площади, вне зависимости от его характеристик, углов или размеров.

    Прямоугольный треугольник

    Прямоугольный треугольник характеризуется наличием прямого угла. Две его стороны, образующие этот угол носят название катетов. Противоположная прямому углу сторона треугольника именуется гипотенузой.

    Прямоугольный треугольник

    Основная формула расчета площади прямоугольного треугольника основывается на значениях катетов фигуры.

    Формула:

    где a, b – катеты треугольника.

    Расчет:

    1. Перемножаются величины двух катетов.
    2. Полученное значение делится на два.

    Вычислить площадь прямоугольного треугольника можно по другой формуле, где за основу берется величина гипотенузы и высота, проведенная к ней.

    Формула:

    где c – гипотенуза, hc – высота, проведенная к гипотенузе.

    Расчет:

    1. Умножается длина гипотенуза на величину высоты, идущей от противоположной вершины.
    2. Полученное значение уменьшается вдвое.

    Равнобедренный треугольник

    В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны по значению, отличающаяся размерами сторона называется основанием.

    Равнобедренный треугольник

    Площадь равнобедренного треугольника рассчитывается по формуле:

    где а – равные стороны треугольника, b – основание.

    Расчет:

    1. Определяется разница из четырехкратного квадратного корня равных сторон и квадратного корня основания.
    2. Из полученного значения извлекается квадратный корень.
    3. Результат умножается на величину основания, уменьшенную в 4 раза.

    Равносторонний треугольник

    Частным случаем равнобедренного треугольника является равносторонний, отличающийся тем, что все стороны и углы фигуры равны по значению.

    Равносторонний треугольник

    Площадь равностороннего треугольника определяется по формуле:

    где a – сторона равностороннего треугольника.

    Определение площади треугольника с неизвестными данными

    Классические формулы расчета площади треугольника могут выручить не всегда. Существует ряд ситуаций, когда неизвестны необходимые для подстановки в формулу величины. При этом используют другие методы для расчета площади треугольника, напрямую зависящие от того, какие данные известны. Все варианты предусматривают конкретную формулу и определенный порядок проведения расчетов.

    Известны основание и высота

    Площадь треугольника определяется как половина произведения высоты фигуры и длины основания, то есть той стороны треугольника, к которой проведена высота.

    Формула:

    где b – длина основания; h – высота.

    Расчет:

    1. Умножается высота на длину основания, получается площадь многоугольника.
    2. Для получения площади треугольника полученный результат делится на 2.

    Известны величины трех сторон

    Площадь треугольника рассчитывается по формуле Герона. Для облегчения формулы метод предусматривает предварительный расчет величины полупериметра.

    Формула Герона:

    где p – величина полупериметра; a, b, c – значения длины сторон треугольника.

    Расчет:

    1. Вычисление полупериметра по формуле 
    1. Расчет площади фигуры по формуле Герона.

    Известны две стороны и угол между ними

    Площадь треугольника рассчитывается как произведение двух сторон, умноженное на синус угла, расположенного между этими сторонами. Угол – геометрическая фигура, полученная из двух лучей, исходящих из одной точки (вершины угла).

    Пирамида

    Формула:

    где a, b – стороны треугольника, C – угол между сторонами.

    Расчет:

    1. Перемножение двух сторон.
    2. Определение синуса угла – тригонометрической функции, в прямоугольном треугольнике равной отношению противолежащего катета к гипотенузе.
    3. Умножение произведения двух сторон на синус угла.
    4. Полученный результат делится пополам.

    Известны одна сторона и прилежащие к ней углы

    Площадь подобного треугольника равна половине квадрата известной стороны, умноженной на дробь, с числителем, выражающим произведение синусов прилежащих углов, и знаменателем, указывающим синус противолежащего угла.

    Формула:

    Расчет:

    1. Рассчитывается квадрат известной стороны и делится на 2.
    2. Перемножаются синусы прилежащих углов и делятся на синус противолежащего. Вычисляется противолежащий угол по формуле:

    γ= 180°−(α+ β)

    β= 180°−(α+ γ)

    α= 180°−(β+ γ)

    1. Перемножаются полученные значения.

    Известны радиус вписанной окружности и полупериметр

    Площадь треугольника определяется как произведение радиуса вписанной окружности на его полупериметр. Окружность называется вписанной, если имеет одну общую с многоугольником точку с каждой стороны фигуры. Центральная точка вписанной в треугольник окружности всегда располагается в точке, где пересекаются биссектрисы его внутренних углов.

    Окружность, вписанная в треугольник

    Формула:

    S = p * r, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

    Расчет:

    1. Полупериметр определяется как половина суммы всех сторон треугольника по формуле:

    где a, b, c – стороны треугольника.

    2. Перемножаются полупериметр треугольника и радиус вписанной окружности.

    Известны радиус описанной окружности и периметр

    Треугольник называется описанным вокруг окружности, если его стороны соприкасаются с кругом, а сам он находится снаружи. Площадь треугольника определяется как половина произведения периметра треугольника и радиуса описанной окружности.

    Треугольник, вписанный в окружность

    Формула:

    где r – радиус описанной окружности, a, b, c – стороны треугольника.

    Расчет:

    1. Определяется периметр треугольника как сумма всех его сторон.
    2. Умножается величина радиуса описанной окружности на величину периметра треугольника.
    3. Полученный результат делится пополам.

    Знание формул вычисления площади треугольника поможет при определении площади объемных фигур, в основе граней которых лежат треугольные фигуры, таких, как например, пирамида.

    Источник: https://24smi.org/news/50354-ploshchad-treugolnika.html

    Поделиться:
    Нет комментариев

      Добавить комментарий

      Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

      ×
      Рекомендуем посмотреть