Тест Конус (11 класс)

Тест по математике для 11 класса

Тест Конус (11 класс)

Тест – одна из самых популярных форм контроля знаний учащихся.

Он помогает учителю за сравнительно короткий промежуток времени определить уровень усвоения материала учащимися и корректировки процесса обучения в соответствии с требованиями образовательных стандартов.

Ученик получает возможность провести самоконтроль знаний.

Задания данного теста предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков по теме: «Конус».

Задания данного теста соответствуют теории в пределах учебного материала за 10-11 классы.

Тест позволяют оценить степень и качество усвоения материала по теме «Конус» и может помочь выпускникам при подготовке к ЕГЭ в 11 классе.

Тест может быть использован на уроке для фронтальной работы и работы в парах, самоконтроля.

В тесте представлены основные теоретические сведения, двадцать три задача и ответы к ним.

Тест разделён на три блока.

Все задачи средней степени сложности.

Для их решения требуется хорошо знать формулы по теме « Конус», теорему Пифагора, формулы площадей круга и треугольника.

Тщательной проработки эти задания требуют только со слабыми учениками.

Задачи теста сформированы из заданий, взятых из официальных источников:

– ЕГЭ портал 4ege.ru,

– http://math.reshuege.ru/ образовательный портал для подготовки к экзаменам Дмитрия Гущина ,

– тренировочные варианты от А.А. Ларина.

Конус.

Основные теоретические сведения.

Конус — это тело, получающееся при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением.

Возможны четыре основных типа конических сечений: эллипс, парабола, круг, равнобедренный треугольник.

Площадь осевого сечения конуса

Осевое сечение – равнобедренный треугольник, с основания 2R и высотой h, где R — радиус основания, h — высота конуса.

Sосев = Rh.

R — радиус основания, L — образующая, h — высота конуса.

МР = МС = МВ = МQ – образующие.

РМQ и МСВ – равнобедренные треугольники.

Прямые РQ и СВ – взаимно перпендикулярны.

Тест «Конус»

1.

Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30. В ответе укажите .

2.

Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

3

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

4

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

5

Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на .

6

Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

7

Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

23

60

87,75

216

7

2

48

5

13

Источник: https://infourok.ru/test-po-matematike-dlya-klassa-konus-467518.html

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Конус. Усеченный конус. – Усеченный конус

Тест Конус (11 класс)

Рис. 1. Пред­ме­ты из жизни, име­ю­щие форму усе­чен­но­го ко­ну­са

Как вы ду­ма­е­те, от­ку­да в гео­мет­рии бе­рут­ся новые фи­гу­ры? Все очень про­сто: че­ло­век в жизни стал­ки­ва­ет­ся с по­хо­жи­ми объ­ек­та­ми и при­ду­мы­ва­ет, как бы их на­звать.

Рас­смот­рим тумбу, на ко­то­рой сидят львы в цирке, кусок мор­ков­ки, ко­то­рый по­лу­ча­ет­ся, когда мы на­ре­за­ли толь­ко часть ее, дей­ству­ю­щий вул­кан и, на­при­мер, свет от фо­на­ри­ка (см.

рис. 1).

 Усеченный конус, его элементы и осевое сечение

Рис. 2. Гео­мет­ри­че­ские фи­гу­ры

Мы видим, что все эти фи­гу­ры по­хо­жей формы – и снизу, и свер­ху они огра­ни­че­ны кру­га­ми, но они сужа­ют­ся квер­ху (см. рис. 2).

Рис. 3. От­се­че­ние верх­ней части ко­ну­са

Это по­хо­же на конус. Толь­ко не хва­та­ет вер­хуш­ки. Мыс­лен­но пред­ста­вим, что мы берем конус и от­се­ка­ем от него верх­нюю часть одним взма­хом остро­го меча (см. рис. 3).

Рис. 4. Усе­чен­ный конус

По­лу­ча­ет­ся как раз наша фи­гу­ра, на­зы­ва­ет­ся она усе­чен­ный конус (см. рис. 4).

Рис. 5. Се­че­ние, па­рал­лель­ное ос­но­ва­нию ко­ну­са

Пусть дан конус. Про­ве­дем плос­кость, па­рал­лель­ную плос­ко­сти ос­но­ва­ния этого ко­ну­са и пе­ре­се­ка­ю­щую конус (см. рис. 5).

Она разо­бьет конус на два тела: одно из них – конус мень­ше­го раз­ме­ра, а вто­рое и на­зы­ва­ет­ся усе­чен­ным ко­ну­сом (см. рис. 6).

Рис. 6. По­лу­чен­ные тела при па­рал­лель­ном се­че­нии

Таким об­ра­зом, усе­чен­ный конус – это часть ко­ну­са, за­клю­чен­ная между его ос­но­ва­ни­ем и па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию плос­ко­стью. Как и в слу­чае с ко­ну­сом, усе­чен­ный конус может иметь в ос­но­ва­нии круг – в этом слу­чае его на­зы­ва­ют кру­го­вым.

Если ис­ход­ный конус был пря­мым, то и усе­чен­ный конус на­зы­ва­ют пря­мым.

Как и в слу­чае с ко­ну­са­ми, мы будем рас­смат­ри­вать ис­клю­чи­тель­но пря­мые кру­го­вые усе­чен­ные ко­ну­сы, если спе­ци­аль­но не ука­за­но, что речь идет о непря­мом усе­чен­ном ко­ну­се или в его ос­но­ва­ни­ях не круги.

Рис. 7. Вра­ще­ние пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции

Наша гло­баль­ная тема – тела вра­ще­ния.

Усе­чен­ный конус – не ис­клю­че­ние! Вспом­ним, что для по­лу­че­ния ко­ну­са мы рас­смат­ри­ва­ли пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник и вра­ща­ли его во­круг ка­те­та? Если по­лу­чен­ный конус пе­ре­сечь плос­ко­стью, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию, то от тре­уголь­ни­ка оста­нет­ся пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Ее вра­ще­ние во­круг мень­шей бо­ко­вой сто­ро­ны и даст нам усе­чен­ный конус. За­ме­тим снова, что речь, ра­зу­ме­ет­ся, идет толь­ко о пря­мом кру­го­вом ко­ну­се (см. рис. 7).

Рис. 8. Ос­но­ва­ния усе­чен­но­го ко­ну­са

Сде­ла­ем несколь­ко за­ме­ча­ний. Ос­но­ва­ние пол­но­го ко­ну­са и круг, по­лу­ча­ю­щий­ся в се­че­нии ко­ну­са плос­ко­стью, на­зы­ва­ют ос­но­ва­ни­я­ми усе­чен­но­го ко­ну­са (ниж­ним и верх­ним) (см. рис. 8).

Рис. 9. Об­ра­зу­ю­щие усе­чен­но­го ко­ну­са

От­рез­ки об­ра­зу­ю­щих пол­но­го ко­ну­са, за­клю­чен­ные между ос­но­ва­ни­я­ми усе­чен­но­го ко­ну­са, на­зы­ва­ют об­ра­зу­ю­щи­ми усе­чен­но­го ко­ну­са.

Так как все об­ра­зу­ю­щие ис­ход­но­го ко­ну­са равны и все об­ра­зу­ю­щие от­се­чен­но­го ко­ну­са равны, то и об­ра­зу­ю­щие усе­чен­но­го ко­ну­са равны (не пу­тать от­се­чен­ный и усе­чен­ный!).

От­сю­да и сле­ду­ет рав­но­бед­рен­ность тра­пе­ции осе­во­го се­че­ния (см. рис. 9).

От­ре­зок оси вра­ще­ния, за­клю­чен­ный внут­ри усе­чен­но­го ко­ну­са, на­зы­ва­ют осью усе­чен­но­го ко­ну­са. Этот от­ре­зок, ра­зу­ме­ет­ся, со­еди­ня­ет цен­тры его ос­но­ва­ний (см. рис. 10).

Рис. 10. Ось усе­чен­но­го ко­ну­са

Вы­со­та усе­чен­но­го ко­ну­са – это пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из точки од­но­го из ос­но­ва­ний к дру­го­му ос­но­ва­нию. Чаще всего, в ка­че­стве вы­со­ты усе­чен­но­го ко­ну­са рас­смат­ри­ва­ют его ось.

Рис. 11. Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са

Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са – это се­че­ние, про­хо­дя­щее через его ось. Оно имеет вид тра­пе­ции, чуть позже мы до­ка­жем ее рав­но­бед­рен­ность (см. рис. 11).

 Площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса

Рис. 12. Конус с вве­ден­ны­ми обо­зна­че­ни­я­ми

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са. Пусть ос­но­ва­ния усе­чен­но­го ко­ну­са имеют ра­ди­у­сы  и , а об­ра­зу­ю­щая равна  (см. рис. 12).

Рис. 13. Обо­зна­че­ние об­ра­зу­ю­щей от­се­чен­но­го ко­ну­са

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са как раз­ность пло­ща­дей бо­ко­вых по­верх­но­стей ис­ход­но­го ко­ну­са и от­се­чен­но­го. Для этого обо­зна­чим через  об­ра­зу­ю­щую от­се­чен­но­го ко­ну­са (см. рис. 13).

Тогда ис­ко­мая .

Рис. 14. По­доб­ные тре­уголь­ни­ки

Оста­лось вы­ра­зить .

За­ме­тим, что из по­до­бия тре­уголь­ни­ков , от­ку­да  (см. рис. 14).

Можно было бы вы­ра­зить , раз­де­лив на раз­ность ра­ди­у­сов, но нам это не нужно, ведь в ис­ко­мом вы­ра­же­нии как раз фи­гу­ри­ру­ет про­из­ве­де­ние . Под­ста­вив вме­сто него , окон­ча­тель­но имеем: .

Неслож­но те­перь по­лу­чить и фор­му­лу для пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти. Для этого до­ста­точ­но до­ба­вить пло­ща­ди двух кру­гов ос­но­ва­ний: .

 Задача

Рис. 15. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Пусть усе­чен­ный конус по­лу­чен вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции  во­круг ее вы­со­ты . Сред­няя линия тра­пе­ции  равна , а боль­шая бо­ко­вая сто­ро­ны –  (см. рис. 15). Найти пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти по­лу­чен­но­го усе­чен­но­го ко­ну­са.

Ре­ше­ние

По фор­му­ле мы знаем, что .

Об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са будет яв­лять­ся боль­шая сто­ро­на ис­ход­ной тра­пе­ции, то есть  Ра­ди­у­сы ко­ну­са – это ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Найти их мы не можем. Но нам и не надо: нужна лишь их сумма, а сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции вдвое боль­ше ее сред­ней линии, то есть она равна . Тогда .

Ответ: .

 Сходство усеченных конуса и пирамиды

Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что, когда мы го­во­ри­ли о ко­ну­се, мы про­во­ди­ли па­рал­ле­ли между ним и пи­ра­ми­дой – фор­му­лы были ана­ло­гич­ны­ми.

Так же и здесь, ведь усе­чен­ный конус очень похож на усе­чен­ную пи­ра­ми­ду, так что фор­му­лы для пло­ща­дей бо­ко­вой и пол­ной по­верх­но­стей усе­чен­но­го ко­ну­са и пи­ра­ми­ды (а скоро будут и фор­му­лы для объ­е­ма) ана­ло­гич­ны.

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.