Тест Перпендикулярность прямой и плоскости

10 класс. Геометрия. Перпендикулярность прямых и плоскостей. – Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Тест Перпендикулярность прямой и плоскости

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Напоминание определения перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q. Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q. Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание.

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС.

Рис. 1.

Пусть точка О – точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О. Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l, параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ, причем ОА = ОВ, то есть точка О – середина отрезка АВ. Проведем прямую PL, .

Рис. 2.

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия),  (по построению). Значит, р – серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Точка Р лежит на прямой р. Значит, РА = РВ.

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия),  (по построению). Значит, q – серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Точка Q лежит на прямой q. Значит, QА = QВ.

Треугольники АРQ и ВРQ равны по трем сторонам (РА = РВ, QА = QВ, РQ – общая сторона). Значит, углы АРQ и ВРQ равны.

Треугольники АPL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АРL = ∠ВРL, РА = РВ, PL – общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL.

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ.

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.

4. Задача 1

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?

Рис. 3.

Решение

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО. Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС, значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОD, значит, . Рассмотрим треугольник DAO. В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM – не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОD, значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO, он не может быть прямым, так как угол МОВ – прямой.

Ответ: .

5. Задача 2

В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ.

Рис. 4.

Решение:

Найдем длину АВ по теореме Пифагора:  (см).

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ,  (см).

Рассмотрим треугольник КСМ. Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС, а значит, КС перпендикулярна СМ. Значит, треугольник КСМ – прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора:  (см).

Ответ: 13 см.

6. Напоминание свойства медианы в прямоугольном треугольники

При решении задачи мы пользовались важным свойством. Напомним его.

В треугольнике АВС угол С равен 90° тогда и только тогда, когда медиана  (рис. 5).

Рис. 5.

1) Рассмотрим треугольник АСВ, . Достроим треугольник до прямоугольника (рис. 5). Диагонали в прямоугольнике равны и делятся точкой пересечения пополам. Отсюда получаем, АМ = СМ = ВМ, .

2) Пусть в треугольнике АВС медиана . Треугольник СМB – равнобедренный, . Треугольник СМА – равнобедренный, . Запишем сумму всех углов треугольника АВС:

. .

7. Итоги урока

Мы рассмотрели признак перпендикулярности прямой и плоскости и доказали его. На следующем уроке мы продолжим изучение темы «Перпендикулярность прямой и плоскости»

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/priznak-perpendikulyarnosti-pryamoy-i-ploskosti

http://www..com/watch?v=efGHI7L4IOo

http://www..com/watch?v=kK2-rRAljt4

http://www..com/watch?v=UR8EieEu9ds

http://2.bp.blogspot.com/-RoR1BBqn_Mc/T1TQpjZwoWI/AAAAAAAAA_Q/Ym4X6nvmQYA/s1600/Geom_67.jpg

http://five-points.ru/img/108/exercises/62752.jpg

http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/

http://russkiy-gdz.com/f/homework/9105/173832.jpg

http://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/perpendikuliarnost-priamykh-i-ploskostei-10441/perpendikuliarnost-priamoi-i-ploskosti-12048/re-c87534cf-8787-4eec-9d5e-1a1cbc811841

Источник: https://www.kursoteka.ru/course/2241/lesson/7243/unit/18883

Тест. Тест на тему :

Тест Перпендикулярность прямой и плоскости

Тест по темам учебника: “Перпендикулярность прямой и плоскости”, “Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью”, “Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей”

Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

Варианты ответов

  • Угол между которыми равен 90 градусов
  • Угол между которыми равен 180 градусов
  • Прямые, которые не пересекаются

Выбери правильное окончание леммы: “Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то…

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10-й класс

Тест Перпендикулярность прямой и плоскости

  • Колина Наталья Константиновна, учитель математики

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,2 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Класс: 10.

Базовый учебник: Геометрия 10-11: базовый и профильный уровни/ Л.С. Атанасян и др.- М.: Просвещение, 2009.

К уроку прилагается презентация, тест, сделанный в Microsoft Excel для компьютерной проверки знаний учащихся (Приложение 1), учебный модуль Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (Приложение 2),состоящий из 5 заданий различного уровня сложности. Все задания данного модуля параметризованы, что позволяет формировать индивидуальные задания. Задания предназначены для отработки навыков решения задач, используя признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для работы с учебным модулем необходимо установить специальную программу, она находится в Приложении 3. В презентации к уроку имеется самостоятельная работа по изучаемой теме. Таким образом, количество предлагаемого материала избыточно, что позволяет его дозировать, варьировать в зависимости от уровня подготовленности класса.

Тип урока: урок творческого применения знаний.

Форма проведения: практикум решения ключевых задач.

Время проведения: 45 минут.

Место урока в разделе: 4 урок.

Цели:

Обучающие:

  • «открыть» понятия перпендикуляра и наклонной к плоскости;
  • формировать умения: видеть конфигурации, удовлетворяющие заданным условиям;

    применять определение прямой, перпендикулярной к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости к задачам на доказательство;

  • выработать навыки решения основных задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Развивающие:

  • развивать пространственное воображение, логическое мышление;
  • развивать самостоятельность учащихся и творческое отношение к выполнению заданий;
  • организовать осмысление полученных результатов изучения темы и способов их достижения.

Воспитательные:

  • воспитывать: волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении задач;

    информационную культуру и культуру общения.

Методы: частично-поисковый, исследовательский.

Формы организации деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная работа.

Оборудование: компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран, компьютерная презентация по теме, тест (Приложение 1), карточки для индивидуальной работы (Слайд 9), карточки с вопросами теории, ЭОР с практическим параметризованным заданием (Приложение 2).

Ход урока

Организационный момент – проверка готовности класса к уроку.

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1. Актуализация знаний.

– Сегодня мы продолжаем работать над темой «Перпендикулярность прямой и плоскости». На прошлых уроках мы «открыли» определение прямой, перпендикулярной к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, разобрали простейшие задачи. В качестве домашнего задания каждый из вас получил лист с вопросами теории, вам предлагалось подготовить ответы на эти вопросы.

Проверим, как вы справились с этим заданием.

Идет фронтальный опрос. (слайды 6-8).

Вопросы:

  1. Верно ли утверждение: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к прямой, принадлежащей плоскости? (нет)
  2. Могут ли быть перпендикулярны к плоскости две стороны треугольника одновременно? (нет, тогда через одну точку пройдут две прямые, перпендикулярные к плоскости).
  3. Сторона AB правильного треугольника ABC лежит в плоскости α. Может ли прямая BC быть перпендикулярна к плоскости α? (нет, так как тогда BC⊥AB, но в правильном треугольнике углы равны 60°).
  4. Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к данной плоскости? (только если они пересекающиеся).
  5. Прямая a перпендикулярна к плоскости α, прямая b не перпендикулярна к плоскости α. Могут ли быть параллельными прямые a и b? (нет, если это предположить, то тогда b⊥a, что противоречит условию).
  6. Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника? (нет, она перпендикулярна лежащим в этой плоскости всем трем сторонам треугольника).
  7. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная к плоскости квадрата. Докажите, что прямая AD перпендикулярна к плоскости, проходящей через прямые AM и AB.
  8. Через центр окружности, описанной около треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника ABC.
  9. На практике вертикальность столба проверяют, глядя на столб поочередно с двух направлений. Как обосновать правильность такой проверки?

Далее повторяются определение прямой, перпендикулярной к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости. (Презентация, слайды 3-5).

Подводятся итоги устной работы, оцениваются ответы учащихся.

2. Постановка учебной задачи.

Сегодня мы продолжим формировать умения применять известные утверждения в задачах на доказательство и в решении типовых задач.

II. Содержательная часть

1. Следующий этап работы – два ученика вызываются к доске для индивидуальной работы по карточкам, с остальными учащимися проводится фронтальная работа по готовым чертежам. Карточки для индивидуальной работы:

Карточка 1

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

Доказать:

1) прямые AC и D1O перпендикулярны;

2) ABC1 = 90°

Карточка 2

Отрезок EF является средней линией прямоугольного треугольника ABC (ACB=90°). Через точку E проведен перпендикуляр ME к плоскости этого треугольника.

Доказать:

1) MF⊥AC,

2) MC = MA.

Задания для устной работы по готовым рисункам:

1.

Дано: M ABC, MBCD – прямоугольник.

Доказать: прямая CD⊥ABC

2.

Дано: ABCD – параллелограмм.

Доказать: прямая MO⊥ABC

3.

Дано: M ABC, ABCD – ромб.

Доказать: прямая BD ⊥AMC

4.

Дано: AH ⊥α, AB – наклонная.

Найти AB.

5.

Дано: AH ⊥α, AB – наклонная.

Найти AH, BH.

6.

Дано: AH⊥α, AB и AC – наклонные.

AB = 12, HC = 6√6 . Найти AC.

– Ребята, в задачах 4-6 речь идет о наклонных к плоскости. Как вы думаете, что имеется в виду?

Существует ли здесь аналогия с понятиями перпендикуляра и наклонной к прямой, изучаемых в планиметрии?

Учащимся предлагается изучить слайд 10 презентации и решить эти задачи.

2. Работа в парах – решаются задачи по готовым чертежам.

1 группа2 группа

Дано:

a⊥ABC

ABC = 90°,

AC = 4, MD = 3.

Найти MC.

Дано:

a ⊥ABC,

ΔABC – равносторонний,

AB = 2√3, MD = 4

Найти MC.

Решения обсуждаются. Оцениваются ответы отдельных учащихся.

Следующий этап урока – выполнение практического задания на компьютере, работа с ЭОР.

III. Рефлексивно-оценочная часть

1. Итогом работы на уроке является проверочная работа в форме теста.

Подводятся итоги урока, выставляются оценки.

2. Домашнее задание: № 130, 131, 145, 148. (Указание: использовать признак перпендикулярности прямой и плоскости).

21.05.2012

Источник: https://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/619200/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.