Тест Сложение и вычитание векторов

Содержание

Векторы и действия над векторами – материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Тест Сложение и вычитание векторов

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с2. Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора – по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и – это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть 1 и задачу 13. Просто, понятно и доступно. Автор – репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Мега-распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-na-ege-po-matematike-v-zadache-v6-dejstviya-nad-vektorami/

8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. – Сложение и вычитание векторов

Тест Сложение и вычитание векторов

Сло­же­ние и вы­чи­та­ние век­то­ров

 1. Сумма двух векторов, правило треугольника

На преды­ду­щем уроке мы опре­де­ли­ли по­ня­тие век­то­ра, ска­за­ли, какие век­то­ры на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, кол­ли­не­ар­ны­ми, со­на­прав­лен­ны­ми и про­ти­во­на­прав­лен­ны­ми.

Те­перь пусть за­да­но два век­то­ра – век­то­ра  и . Най­дем сумму этих двух век­то­ров . Для этого от­ло­жим из неко­то­рой точки А век­тор . Из точки В от­ло­жим век­тор . Тогда век­тор  на­зы­ва­ют сум­мой за­дан­ных век­то­ров:  (см. Рис. 1).

Рис. 1

Дан­ное опре­де­ле­ние можно объ­яс­нить так: пусть был задан груз, и сна­ча­ла на него по­дей­ство­ва­ла сила  – он пе­ре­ме­стил­ся из точки А в точку В, после этого по­дей­ство­ва­ла сила  – груз пе­ре­ме­стил­ся из точки В в точку С. Но в ре­зуль­та­те дей­ствия двух этих сил груз пе­ре­ме­стил­ся из точки А в точку С.

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли опре­де­ле­ние суммы двух век­то­ров – пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка.

Пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка

Для того чтобы по­лу­чить сумму двух век­то­ров, нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить пер­вый век­тор, из конца по­лу­чен­но­го век­то­ра от­ло­жить вто­рой век­тор, и по­стро­ить век­тор, со­еди­ня­ю­щий на­ча­ло пер­во­го с кон­цом вто­ро­го – это и будет сумма двух век­то­ров.

Можно про­ве­сти ана­ло­гию с чис­ла­ми. Мы ввели по­ня­тие числа, на­учи­лись скла­ды­вать числа, опре­де­ли­ли за­ко­ны сло­же­ния и так далее. Те­перь мы ввели по­ня­тие век­то­ра, на­учи­лись на­хо­дить рав­ные век­то­ра, скла­ды­вать век­то­ра. Те­перь нужно опре­де­лить за­ко­ны сло­же­ния.

 2. Законы сложения векторов, правило параллелограмма

За­ко­ны сло­же­ния век­то­ров

Для любых век­то­ров ,  и  спра­вед­ли­вы сле­ду­ю­щие ра­вен­ства:

 – пе­ре­ме­сти­тель­ный закон.

До­ка­за­тель­ство: от­ло­жим из точки сна­ча­ла век­тор , по­лу­ча­ем точку В, из нее от­кла­ды­ва­ем век­тор , по­лу­ча­ем точку С и век­тор .

Те­перь от­ло­жим из точки А сна­ча­ла век­тор  по­лу­чим точку В, из нее от­ло­жим век­тор, по­лу­чим точку С и век­тор .

Чтобы до­ка­зать ра­вен­ство по­лу­чен­ных век­то­ров, вы­пол­ним оба по­стро­е­ния из одной точки и по­лу­чим таким об­ра­зом пра­ви­ло па­рал­ле­ло­грам­ма (см. Рис. 2).

Рис. 2

От­кла­ды­ва­ем из точки А век­тор  и век­тор . Из точки В от­кла­ды­ва­ем век­тор , век­то­ра  и  равны, а зна­чит, сто­ро­ны ВС и АВ1 че­ты­рех­уголь­ни­ка АВСВ1 па­рал­лель­ны. Ана­ло­гич­но па­рал­лель­ны и сто­ро­ны АВ и В1С, таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли па­рал­ле­ло­грамм. АС – диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма. , таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли пе­ре­ме­сти­тель­ный

Рис. 3

закон сло­же­ния век­то­ров и по­лу­чи­ли пра­ви­ло па­рал­ле­ло­грам­ма (см. Рис. 3).

Пра­ви­ло па­рал­ле­ло­грам­ма

Чтобы по­лу­чить сумму двух век­то­ров, нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить эти два век­то­ра и по­стро­ить на них па­рал­ле­ло­грамм. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щая из на­чаль­ной точки, и будет сум­мой за­дан­ных век­то­ров.

 – со­че­та­тель­ный закон;

Из про­из­воль­ной точки А от­ло­жим век­тор , при­ба­вим к нему век­тор , по­лу­чим их сумму . К этой сумме при­ба­вим век­тор , по­лу­чим ре­зуль­тат  (см. Рис. 4).

Рис. 4

В пра­вой части вы­ра­же­ния мы сна­ча­ла по­лу­чи­ли сумму век­то­ров , после при­ба­ви­ли ее к век­то­ру  и по­лу­чи­ли ре­зуль­тат:  (см. Рис. 5).

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли со­че­та­тель­ный закон сло­же­ния век­то­ров.

Рис. 5

 3. Правило сложения нескольких векторов

Пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка

Чтобы сло­жить несколь­ко век­то­ров, нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить пер­вый век­тор, из его конца от­ло­жить вто­рой век­тор, из конца вто­ро­го век­то­ра от­ло­жить тре­тий и так далее; когда все век­то­ры от­ло­же­ны, со­еди­нив на­чаль­ную точку с кон­цом по­след­не­го век­то­ра, по­лу­чим сумму несколь­ких век­то­ров (см. Рис. 6).

Рис. 6

По ана­ло­гии с дей­стви­тель­ны­ми чис­ла­ми после того, как мы на­учи­лись их скла­ды­вать, нужна об­рат­ная опе­ра­ция – вы­чи­та­ние.

 4. Правило вычитания векторов

Пусть за­да­но два век­то­ра – век­то­ры  и . Най­дем раз­ность этих двух век­то­ров .

Опре­де­ле­ние

Раз­но­стью двух век­то­ров  и  на­зы­ва­ют такой тре­тий век­тор, сумма ко­то­ро­го с век­то­ром  равна век­то­ру .

Если задан век­тор , то можно по­стро­ить про­ти­во­по­лож­ный ему век­тор , ко­то­рый будет равен по длине, но про­ти­во­на­прав­лен. Сумма про­ти­во­по­лож­ных век­то­ров все­гда есть ну­ле­вой век­тор: . Таким об­ра­зом, .

От­ло­жим из про­из­воль­ной точки век­тор , из его конца от­ло­жим век­тор , по­лу­чим в ре­зуль­та­те век­тор  (см. Рис. 7).

Рис. 7

Рас­смот­рим вы­чи­та­ние век­то­ров на па­рал­ле­ло­грам­ме. Из точки А от­ло­жим век­то­ры  и . Из точек В и D от­ло­жим век­то­рв  и  со­от­вет­ствен­но. Диа­го­наль АС – это сумма век­то­ров  и : . Но в па­рал­ле­ло­грам­ме есть еще вто­рая диа­го­наль – BD. При­ба­вим к век­то­ру  век­тор , по­лу­чим век­тор  (см. Рис. 8).

Рис. 8

Итак, на дан­ном уроке мы вы­ве­ли пра­ви­ла сло­же­ния и вы­чи­та­ния век­то­ров при по­мо­щи тре­уголь­ни­ка и па­рал­ле­ло­грам­ма, сфор­му­ли­ро­ва­ли за­ко­ны сло­же­ния век­то­ров.

ИСТЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/slozhenie-i-vychitanie-vektorov

http://www..com/watch?v=r8icqcsv5AQ

http://www..com/watch?v=KYaz65dkg2c

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/4-test-po-geometrii-9-klass-tema-slozhenie-i-vychitanie-vektorov-variant-1.html

http://gdz-matem.ru/8class/25-9.2-slozhenie-i-vychitanie-vektorov.html

http://www.lenbaza.ru/baza/pict/111.jpg

Источник: https://www.kursoteka.ru/course/2659/lesson/8668/unit/22191

Тест по теме: «Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число» – Рефераты для всех

Тест Сложение и вычитание векторов

1. Какое утверждение неверное?

1) Любые два противоположно направленных
вектора коллинеарны.

2) Любые два коллинеарных вектора
сонаправлены.

3) Любые два равных вектора коллинеарны.

2. Даны точки А,В,С,D,K.
Известно, что

Тогда неверно, что…

1) все точки лежат в одной плоскости;

2) прямые ВСиDKпараллельны;

3) точки А, СиDне лежат на
одной прямой.

3. Какое утверждение неверное?

1) Длины противоположных векторов не
могут быть неравны.

2) Если длины векторов неравны, то и
векторы неравны.

3) Если длины векторов равны, то и векторы
равны.

4. причём точкиА,В иСне лежат
на одной прямой. ПрямыеАСиBDне могутбыть…

1) параллельными;

2) пересекающимися;

3) скрещивающимися.

5. ABCA1B1C1– правильная призма.A1F=1,B1K=KC1.

Какое утверждение неверное?

1)

2)

3)

6. ABCA1B1C1– правильная
призма.CE=EC1,BF=1,FM=MB1,AD:DC= 3 : 1.

Какое утверждение верное?

1)

2)

3)

7. ABCDA1B1C1D1– параллелепипед.…

1)

2)

3)

8. Векторы
иявляются

1) равными;

2) противоположными;

3) сонаправленными.

9. DABC– тетраэдр.

Тогда

1)

2)

3)

Уровень в

1. ABCDA1B1C1D1– параллелепипед.

Тогда

Тест по теме: «Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число»

Тест Сложение и вычитание векторов

Вариант №1

Сложение и вычитание векторов

Тест Сложение и вычитание векторов

Векторы: \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \), \( \vec{u_1} \), \( \vec{u_2},\;\ldots\; \)
Нулевой вектор: \( \vec{0} \)
Координаты векторов: \( {X_1} \), \( {Y_1} \), \( {Z_1} \), \( {X_2} \), \( {Y_2} \), \( {Z_2} \)

Определение 1 Если точка \( A \) начала какого-либо вектора \( \overrightarrow{a} \), то говорят, что вектор \( \overrightarrow{a} \) отложен от точки \( A \) (рис. 1).

Теорема 1 От любой точки \( K \) можно отложить вектор единственный \( \overrightarrow{a} \).

Существование: Имеем два следующих случая:

  1. Вектор \( \overrightarrow{a} \) – нулевой.

    Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором \( \overrightarrow{KK} \).

  2. Вектор \( \overrightarrow{a} \) не является нулевым.

    Пусть точка \( A \) является началом вектора \( \overrightarrow{a} \), а точкой \( B \) – конец вектора \( \overrightarrow{a} \). Проведем через точку \( K \) прямую \( b \) параллельную вектору \( \overrightarrow{a} \).

    Будем откладывать на прямой отрезки \( \left|KL\right|=|AB| \) и \( \left|KM\right|=|AB| \). Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{KL} \) и \( \overrightarrow{KM} \).

    Из этих двух векторов нужный нам вектор — вектор, сонаправленный с вектором \( \overrightarrow{a} \) (рис.2)

Рисунок 2.

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Суммой двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) называется третий вектор \( \vec{c} \), проведенный из начала \( \vec{a} \) к концу \( \vec{b} \), если начало вектора \( \vec{b} \) совпадает с концом вектора \( \vec{a} \).

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

\( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \)

Суммой нескольких векторов \( \vec{a_1} \),\( \vec{a_2} \), \( \vec{a_3},\;\ldots \) называется вектор \( \vec{c} \), получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

\( \vec{c} = \vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} + \ldots + \vec{a_n} \)

Коммутативный закон сложения
\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \)

Ассоциативный закон сложения
\( \left( {\vec{a} + \vec{b}} \right) + \vec{c} = \vec{a} + \left( {\vec{b} + \vec{c}} \right) \)

Сумма векторов в координатах При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.

\( \vec{a} + \vec{b} = \left( {{X_1} + {X_2},{Y_1} + {Y_2},{Z_1} + {Z_2}} \right) \)

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

  1. Для произвольного вектора \( \overrightarrow{a} \) выполняется равенство

    \[ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a} \]

  2. Для произвольных точек \( A,\ B\ и\ C \) справедливо следующее равенство

    \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \]

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Разность векторов. Вычитание векторов

Разностью двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) называется вектор \( \vec{c} \) при условии:
\( \vec{c} = \vec{a} – \vec{b} \), если \( \vec{c} + \vec{b} = \vec{a} \)

Разность векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равна сумме вектора \( \vec{a} \) и противоположного вектора \( -\vec{b} \):
\( \vec{a} – \vec{b} = \vec{a} + \left( -\vec{b} \right) \)

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
\( \vec{a} – \vec{a} = \vec{0} \)

Длина нулевого вектора равна нулю:
\( \left| \vec{0} \right| = 0 \)

Разность векторов в координатах При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.

\( \vec{a} – \vec{b} = \left( {{X_1} – {X_2},{Y_1} – {Y_2},{Z_1} – {Z_2}} \right) \)

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор \( \overrightarrow{a\ } \) и действительное число \( k \).

Определение Произведением вектора \( \overrightarrow{a\ } \) на действительное число \( k \) называется вектор \( \overrightarrow{b\ } \) удовлетворяющий следующим условиям:

  1. Длина вектора \( \overrightarrow{b\ } \) равна \( \left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right||\overrightarrow{a\ }| \);

  2. Векторы \( \overrightarrow{a\ } \) и \( \overrightarrow{b\ } \) сонаправлены, при \( k\ge 0 \) и противоположно направлены, если \( k\le 0 \)

Обозначение: \( \ \overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ } \).

Пусть даны векторы \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{b} \). Построить вектор \( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \).

Построим произвольную точку \( O \) и отложим от нее векторы \( \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b} \). Соединив точку \( B \) с точкой \( A \), получим вектор \( \overrightarrow{BA} \).

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA} \]

То есть

\[ \overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a} \]

Из определения 2, получаем, что

\[ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA} \]

\( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA} \).

Дан прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Доказать, что \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC_1} \)

Воспользуемся свойством правила треугольника \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \), получим:

\[ \overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC_1} \]

Так как \( \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1} \)

То есть

\[ \overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1} \]

ч. т. д.

\), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \), \( \vec{u_1} \), \( \vec{u_2},\;\ldots\; \) Нулевой вектор: \( \vec{0} \) Координаты векторов: \( {X_1} \), \( {Y_1} \), \( {Z_1} \), \( {X_2} \),…”,”word_count”:28,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://calcsbox.com/post/slozenie-i-vycitanie-vektorov.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.