Тупоугольный треугольник

Как найти стороны тупоугольного равнобедренного треугольника – Как найти косинус угла в тупоугольном треугольнике если известна высота

Тупоугольный треугольник

Вообще, треугольник представляет собой наиболее простейшую фигуру из всех существующих многоугольников. Образуется он с помощью трех точек, которые лежат в 1-ой плоскости, но, при этом они не лежат на 1-ой прямой, и попарно соединяются между собой отрезками.

Треугольники бывают различных типов, а значит, характеризуются разными свойствами. Зависимо от типа углов треугольник может относится к одному из 3-х видов – быть остроугольным, прямоугольным или же тупоугольным. Тупоугольным треугольником является треугольник, который имеет один тупой угол.

При этом, тупым называют такой угол, который имеет величину более девяноста градусов, но менее ста восьмидесяти градусов.

Иными словами, тупоугольный треугольник  представляет собой простейший многоугольник, который в себе содержит тупой угол – какой-то из его углов находится в пределах 90-180 градусов.

ПРИМЕР

Задача: Является или нет треугольник тупоугольным тогда, когда:

  • угол ABC в нем равняется 65 градусам;
  • его угол BCA составляет 95 градусов;
  • угол CAB – 20 градусов.

Решение: Углы CAB и ABC менее 90 градусов, но, при этом, угол BCA более 90 градусов. Значит, такой треугольник является тупоугольным.

Как найти стороны тупоугольного равнобедренного треугольника

Что представляет собой тупоугольный треугольник, мы разобрались выше. Теперь следует разобраться с тем, какой треугольник считается равнобедренным.

Равнобедренным называют такой треугольник, который имеет 2 абсолютно равные стороны. Стороны эти называют боковыми, третью же сторону треугольника называют основанием.

Вершины треугольника обозначают обычно заглавными латинскими буквами – то есть, A, B и C. Величины его углов соответственно вершинам обозначаются  греческими буквами, то есть α,β, γ. Длины противоположных сторон треугольника – прописными латинскими буквами, то есть, a, b, c.

ПРИМЕР

Простая задача: Периметр тупоугольного равнобедренного треугольника – 25см, разность 2-ух его сторон – 4 см, а 1-ин из внешних углов треугольника — острый. Как найти стороны такого треугольника?

Решение: Угол, смежным с которым выступает острый угол треугольника, является тупым.

В треугольнике такого плана тупым углом может являться исключительно тот угол, который находится против его основания. Соответственно, основание является самой большой стороной такого треугольника.

Если принять основание данного треугольника за х, то для решения этой задачи нужно использовать следующую формулу:

Ответ: основание равнобедренного тупоугольного треугольника составляет 11 см, а его обе стороны по 7 см.

ФОРМУЛЫ, по которым можно найти стороны тупоугольного равнобедренного треугольника

Используемые обозначения:

  • b – это сторона основания треугольника
  • а – его равные стороны
  • α – углы при основании треугольника
  • β – угол, который образован его равными сторонами
  • √ – корень квадратный

1.    Формулы длины основания (b):

  • b = 2а sin(β/2) = а√2–2cosβ
  • b = 2а cos α

2.    Формулы длины равных сторон треугольника (а):

а  =       b        =       b

2sin(β/2)     √2-2cos β

a  =     b

2 cos α

Как найти косинус угла в тупоугольном треугольнике если известна высота

Для начала не помешает разберемся в с основных терминах, которые использованы в этом вопросе: что называется высотой треугольника и что же такое косинус угла.

Высотой треугольника считается перпендикуляр, который проведен из вершины его к прямой, которая содержит противоположную сторону данного треугольника. Косинус – известная тригонометрическая функция, являющаяся одной из главных функций тригонометрии.

Для того, чтобы найти косинус угла в тупоугольном треугольнике с вершинами А, В и С, при условии, что высота известна, нужно опустить высоту из В на сторону АС.

Точку, в которой высота пересекается со стороной АС необходимо обозначить D и рассмотреть треугольник АВD, который является прямоугольным. В данном треугольнике АВ, которая является стороной исходного треугольника, – это гипотенуза.

Катетами же являются высота ВD исходного треугольника, а также отрезок АD, который принадлежит стороне АС. При этом, косинус угла, соответствующего вершине А, равняется отношению АD к АВ, так как катет АD – прилежащий к углу при вершине А в треугольнике АВD.

В том случае, когда известно то, в каком именно соотношении сторона АС делится высотой ВD и какая эта высота, то косинус угла, соответствующий вершине А, найден.

Источник: http://razuznai.ru/tupougolnyj_treugolnik.html

Тупоугольный треугольник: длина сторон, сумма углов. Описанный тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник

Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют “простейший многоугольник” с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является тупым углом.

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Но для того чтобы быть уверенным, что речь идет именно о законченной фигуре, а не о наборе отдельных вершин, необходимо проверить, чтобы соблюдалось основное условие: сумма углов тупоугольного треугольника равняется 180о. Это же верно и для других видов фигур с тремя сторонами.

Правда, в тупоугольном треугольнике один из углов будет еще больше 90о, а два оставшихся обязательно будут острыми. При этом именно наибольший угол будет находиться напротив самой длинной стороны. Правда, это далеко не все свойства тупоугольного треугольника.

Но и зная лишь эти особенности, школьники могут решать многие задачи по геометрии.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин.

Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон.

Для определения площади треугольника математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок.

Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник.

Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90о.

Если даны определенные значения длин сторон или градусы углов, то чертить тупоугольный треугольник необходимо в соответствии с ними. При этом необходимо стараться максимально точно изобразить углы, высчитывая их при помощи транспортира, и пропорционально данным в задании условиям отобразить стороны.

Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.

Так, каждому школьнику должно быть понятно определение биссектрисы, медианы, серединного перпендикуляра и высоты. Кроме того, он должен знать и их основные свойства.

Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону – на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.

Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2 : 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.

Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.

Серединный перпендикуляр – это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства.

А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности.

Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Вписанные треугольники

Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная.

Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры.

Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном – за его пределами.

Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R – это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150о.

Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S.

Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный.

В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется квадратному корню из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p – это полупериметр треугольника, c, v, b – его стороны.

Источник: http://fb.ru/article/135187/tupougolnyiy-treugolnik-dlina-storon-summa-uglov-opisannyiy-tupougolnyiy-treugolnik

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

    ×
    Рекомендуем посмотреть