Высота треугольника

Содержание

Василиса ЯВИКС – интеллектуальная поисковая система. Завтра уже здесь!

Высота треугольника

Высота в треугольниках различного типа

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетомпрямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Свойства точки пересечения трех высот треугольника (ортоцентра)

  • Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Это утверждение легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек , не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

→⋅→→⋅→→⋅→

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

→→−→→→−→→→−→

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

  • Ортоцентризогонально сопряжен центру описанной окружности.
  • Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
  • Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
  • Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
  • Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентромдополнительного треугольника.
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
  • Если О — центр описанной окружности ΔABC, то →→→→ ,
    • − , где — радиус описанной окружности; — длины сторон треугольника.
  • Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
  • Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
  • Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
  • Следствия теоремы Гамильтона:
    • Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
    • Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
  • В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.

Свойства высот равнобедренного треугольника

  • Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
  • Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
  • У равностороннего треугольника все три высоты равны.

Свойства оснований высот треугольника

  • Основаниявысот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
  • Описанная около ортотреугольника окружность – окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
  • Другая формулировка последнего свойства:
    • Теорема Эйлера для окружности девяти точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).
  • Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
  • Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек.

    Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Свойства минимальной из высот треугольника

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

  • Минимальная ортогональнаяпроекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
  • Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
  • При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
  • Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

  • ⁡γ⁡β
  • где  — площадь треугольника,  — длина стороны треугольника, на которую опущена высота.
  • −−
  • где – произведение боковых сторон, − радиус описанной окружности
  • , где  — радиус вписанной окружности.
  • ⋅−⋅−⋅−, где — площадь треугольника.
  • ⋅⋅−⋅−⋅−, — сторона треугольника к которой опускается высота .
  • Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание:−

где  — основание, — боковая сторона.

  •  — высота в равностороннем треугольнике со стороной .

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота в прямоугольном треугольнике длиной , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной на отрезки и , соответствующие катетам и , то верны следующие равенства:

  • ;

Теорема о проекциях

Основная статья: Теорема о проекциях

См. с. 51, ф. (1.11-4).Теорема о проекциях: ⁡β⁡α⁡γ⁡β⁡α⁡γ. Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины , делит противоположную ей сторону на две части ⁡β и ⁡α, считая от вершины к .

Мнемоническое стихотворение

Высота похожа на кота,Который, выгнув спину,И под прямым угломСоединит вершину

И сторону хвостом.

Вариации по теме. Высоты в четырехугольнике

Теорема. Пусть – вписанный четырёхугольник, – основание перпендикуляра (высоты), опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки . Тогда точки лежат на одной окружности.

Примечания

  1. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 137-138, п. 126, теорема, следствия.
  2. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.

     — 832 с.

  3. Сафронова Вера Николаевна,. Урок геометрии в 7-м классе по теме: “Медиана, биссектриса, высота” . Открытый урок. Издательский дом «Первое сентября». Проверено 19 июля 2017.
  4. Вокруг задачи Архимеда. Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5.

Ссылки

Источник: http://yavix.ru/%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D0%92%D1%8B%D1%81%D0%BE%D1%82%D0%B0%20%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Основные элементы треугольника abc

Высота треугольника

Треугольник– многоугольник с тремя сторонами, илизамкнутая ломаная линия с тремя звеньями,или фигура, образованная тремя отрезками,соединяющими три точки, не лежащие наодной прямой (см.рис. 1).

Рис. 1.

Вершины– точки A,B, и C;

Стороны– отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющиевершины;

Углы– α , β, γ образованные тремя парамисторон. Углы часто обозначают так же,как и вершины, – буквами A, B и C.

Угол, образованныйсторонами треугольника и лежащий в еговнутренней области, называется внутреннимуглом, а смежный к нему является смежнымуглом треугольника (2, стр. 534).

Высоты, медианы, биссектрисы и средние линии треугольника

Кроме основныхэлементов в треугольнике рассматриваюти другие отрезки, обладающие интереснымисвойствами: высоты, медианы, биссектрисыисредниелинии.

Высота

Высоты треугольника– это перпендикуляры, опущенные извершин треугольника на противоположныестороны.

Для построениявысоты необходимо выполнить следующиедействия:

1) провести прямую,содержащую одну из сторон треугольника(в случае, если проводится высота извершины острого угла в тупоугольномтреугольнике);

2) из вершины,лежащей напротив проведенной прямой,провести отрезок из точки к этой прямой,составляющий с ней угол 90 градусов.

Рис. 2.

Точка пересечениявысоты со стороной треугольника называетсяоснованиемвысоты(см. рис. 2).

Свойства высот треугольника

  1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику.

  2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

  3. Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон.

  4. Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Медиана

Медианы (отлат. mediana– «средняя»)– это отрезки, соединяющие вершинытреугольника с серединами противолежащихсторон (см. рис. 3).

Для построениямедианы необходимо выполнить следующиедействия:

1) найти серединустороны;

2)соединить точку,являющуюся серединой стороны треугольника,с противолежащей вершиной отрезком.

Рис. 3.

Свойствамедиан треугольника

  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называетсяцентром тяжести треугольника.

Весьтреугольник разделяется своими медианамина шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектрисами(от лат. bis– дважды» и seko– рассекаю) называют заключенные внутритреугольника отрезки прямых, которыеделят пополам его углы (см. рис. 4).

Для построениябиссектрисы необходимо выполнитьследующие действия:

1) построить луч,выходящий из вершины угла и делящий егона две равные части (биссектрису угла);

2) найти точкупересечения биссектрисы угла треугольникас противоположной стороной;

3) выделить отрезок,соединяющий вершину треугольника сточкой пересечения на противоположнойстороне.

Рис. 4.

Свойствабиссектрис треугольника

  1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

  2. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.

  3. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

  4. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD=ACBC.

  5. Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.

  6. Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.

  7. Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.

Источник: https://StudFiles.net/preview/5881514/

Высота треугольника. Визуальный гид (2019)

Высота треугольника

Важные замечания!
  1.  Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
  2.  Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для подготовки к ЕГЭ по математике, ОГЭ по математике и ЕГЭ и ОГЭ по другим предметам.

Что такое высота треугольника?

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Давай нарисуем:

На этом рисунке   – высота.

Но иногда высота ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.

И тогда получается так:

В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны. Как же решать задачи, в которых участвует высота? Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.

Давай попробуем.

Вот есть, скажем, задача:

В треугольнике   с тупым углом   проведена высота  . Найти  , если  ,  ,  .

Решаем:

Смотри: из-за того, что угол   – тупой, высота   опустилась на продолжение стороны  , а не на саму сторону.

Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.

Смотри их целых два:

Применяем теорему Пифагора к треугольнику  :

 , то есть  ;  .

А теперь теорема Пифагора для  :

 ; то есть  ;  .

Теперь осталось только заметить, что  .

Нашли!

А теперь давай зададимся вопросом: а сколько вообще высот у треугольника? Конечно, три! И вот, есть такое утверждение, доказывать которое мы здесь не будем, но знать его нужно, тем более, что запоминается оно просто:

В любом треугольнике все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Смотрим, как это бывает:

a) Сами высоты пересекаются:

b) Пересекаются продолжения:

Ну вот, про высоту и запоминать-то нужно всего ничего:

  • Задача про высоту часто решается с помощью знаний о прямоугольном треугольнике.
  • Три высоты (или три продолжения) пересекаются в одной точке. (Но! Это НЕ центр НИКАКОЙ окружности )

Высота треугольника. средний уровень

Высота треугольника – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Обрати внимание, что, в отличие от биссектрисы и медианы, высота может находиться вне треугольника. Вот так, например:

Немного о терминологии:основанием высоты называют ту точку, в которой высота пересекает противоположную сторону (или её продолжение).

Задачи, связанные с высотой, часто решаются при помощи знаний о прямоугольном треугольнике. Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.

В треугольнике проведено две высоты

Первый «неожиданный факт»:

Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол   и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.

Второй «неожиданный» факт:

Здесь тоже подобие по двум углам:   (как вертикальные) и по прямому углу.

Третий, по–настоящему неожиданный факт:

Вот это уже интереснее, правда? Давай разбираться, почему так.

  • Во-первых, конечно, у этих треугольников есть одинаковый (и даже общий) угол  .
  • А во–вторых …ты помнишь ещё первый “неожиданный” факт? Ну, что  ? Вспоминаем и применяем!

Запишем отношения соответствующих сторон.

Итак,  .Следовательно,  

Перепишем по–другому:  

Ух, да это же – отношение сторон для треугольников   и  !

В итоге мы получили, что у треугольников   и  

  1. Угол   – общий;
  2. Отношение сторон, заключающих этот угол – одинаковы:  .

Значит, мы получили, что:

Но самое интересное ещё впереди!

Каков же коэффициент подобия этих треугольников? То есть чему же равно это самое отношение  ?

Рисуем:

Где наши знания о прямоугольном треугольнике? Что такое  ? Катет, прилежащий к углу  . А что такое  ? Гипотенуза!

Значит,  .

Потрясающе, не правда ли?

Давай сформулируем ещё раз, чтобы лучше запомнить:

Ну вот, две высоты в треугольнике рассмотрены. А теперь…

В треугольнике проведены три высоты

Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:

В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.

Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».

  1. Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты 
  2. Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот

Что же полезного мы ещё не обсудили?

Угол между высотами

Давай узнаем, вдруг угол между высотами можно как–то выразить через углы треугольника? Давай рассмотрим остроугольный треугольник.

Итак, нам хотелось бы найти  . Смотрим на  . Замечаем, что наш   – внешний угол в этом треугольнике. Значит,  .

Чему же равны   и  ?

Смотри: из   выходит, что  . Конечно, таким же образом из   получается, что  .

Теперь  .

Но что же это такое? Ведь сумма угла углов треугольника –  ! Значит,  .

Итак, что получилось?

Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

А как же дело обстоит в тупоугольном треугольнике? Давай смотреть…очень внимательно!

Представим, что у нас «главный» не  , а  .

Тогда оказывается, что прямые  ,   и   – высоты в  . Но   уже остроугольный (так как все высоты оказались внутри), а про остроугольный треугольник мы уже всё знаем:  . НО!  

Значит, для тупоугольного треугольника:

И ещё кое–что:

Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:

Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!

Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!

Но тем не менее…

Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!

Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника. Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее – которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести. И тогда, если ты будешь точно знать, например? что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!

Высота треугольника. коротко о главном

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.

Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены:  .

Способы вычисления длины высоты, проведенной к стороне BC:

1) Через сторону и угол треугольника:  .

2) Через все 3 стороны треугольника:

 ,

где   – полупериметр треугольника:  .

3) Через сторону и площадь треугольника:  .

4) Через стороны треугольника и радиус описанной окружности:
 ,

где   – радиус описанной окружности.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это – не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но, думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте – нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Источник: https://youclever.org/book/vysota-2

Высота треугольника

Высота треугольника

Урок содержит описание свойств и формулы нахождения высоты треугольника, а также примеры решения задач. Если Вы не нашли решение подходящей задачи – пишите про это на форуме. Наверняка, курс будет дополнен. 

Высота треугольника – опущенный из вершины треугольника перпендикуляр, проведенный на противолежащую вершине сторону или на ее продолжение.Свойства высоты треугольника:

  • Если в треугольнике две высоты равны, то такой треугольник – равнобедренный
  • В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному
  • В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащих на двух сторонах, непараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины этой стороны всегда можно провести окружность
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники
  • Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника

Ортоцентр треугольника

Все три высоты треугольника (проведенные из трех вершин) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Для того, чтобы найти точку пересечения высот, достаточно провести две высоты (две прямые пересекаются только в одной точке).Расположение ортоцентра (точка О) определяется видом треугольника.У остроугольного треугольника точка пересечения высот находится в плоскости треугольника. (Рис.1).У прямоугольного треугольника точка пересечения высот совпадает с вершиной прямого угла (Рис.2).У тупоугольного треугольника точка пересечения высот находится за плоскостью треугольника (Рис.3).У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают.У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

ВИСОТА ТРИКУТНИКАВисота трикутника – опущений з вершини трикутника перпендикуляр, проведений на протилежну вершині бік або на її продовження.Всі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Для того, щоб знайти точку перетину висот, досить провести дві висоти (дві прямі перетинаються тільки в одній точці).Розміщення ортоцентра (точка О) визначається видом трикутника.У гострокутного трикутника точка перетину висот знаходиться в площині трикутника. (Мал.1).У прямокутного трикутника точка перетину висот збігається з вершиною прямого кута (Мал.2).У тупоугольного трикутника точка перетину висот знаходиться за площиною трикутника (Мал.3).У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса і висота, проведені до основи трикутника, збігаються.У рівностороннього трикутника всі три «помітні» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «помітні» точки (точки ортоцентра, центру ваги і центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «помітних» ліній, тобто теж збігаються.

Формулы нахождения высоты треугольника

Рисунок приведен для облегчения восприятия формул нахождения высоты треугольника. Общее правило – длина стороны обозначена маленькой буквой, лежащей напротив соответствующего угла. То есть сторона a лежит напротив угла A.

Высота в формулах обозначается буквой h, нижний индекс которой соответствует стороне, на которую она опущена.

Другие обозначения:
a,b,c – длины сторон треугольника
ha – высота треугольника, проведенная к стороне a из противолежащего угла
hb – высота, проведенная к стороне b
hc – высота, проведенная к стороне c
R – радиус описанной окружности
– радиус вписанной окружности Пояснения к формулам.

Высота треугольника равна произведению длины стороны, прилежащей к углу, из которой опущена эта высота на синус угла между этой стороной и стороной, на которую такая высота опущена (Формула 1) Высота треугольника равна частному от деления удвоенной величины площади треугольника на длину стороны, к которой опущена эта высота (Формула 2) Высота треугольника равна частному от деления произведения сторон, прилежащих к углу, из которого опущена эта высота, на удвоенный радиус описанной вокруг него окружности (Формула 4). Высоты сторон в треугольнике соотносятся между собой в той же самой пропорции, как соотносятся между собой обратные пропорции длин сторон этого же треугольника, а также в той же самой пропорции между собой относятся произведения пар сторон треугольника, которые имеют общий угол (Формула 5).  Сумма обратных значений высот треугольника равна обратному значению радиуса вписанной в такой треугольник окружности (Формула 6) Площадь треугольника можно найти через длины высот этого треугольника (Формула 7)

Длину стороны треугольника, на которую опущена высота, можно найти через применение формул 7 и 2.

Задача на подобие треугольников

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 900) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см

Решение.

Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).

Прямоугольные треугольники – единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.

Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)

Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:

AD/DC = DC/BD, то есть

DC2=AD*BD

DC2=9*16

DC=12 см

Задача на применение теоремы Пифагора. 

Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см.  Разность отрезков BD-AD=5 см. 

Найти: Стороны треугольника ABC. 

Решение

1.Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора

CD2+BD2=BC2

CD2+AD2=AC2

поскольку CD=6

36+BD2=BC2

36+AD2=AC2

Поскольку BD-AD=5, то

BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид

36+(AD+5)2=BC2

36+AD2=AC2

Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой – равенство не будет нарушено. Получим: 

36+36+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

2. Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство:

AC2+BC2=AB2

Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид: 

AC2+BC2=(AD+BD)2

Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда

AC2+BC2=(AD+AD+5)2 

3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно:

72+(AD+5)2+AD2=AC2+BC2

AC2+BC2=(AD+AD+5)2

Они имеют общую часть AC2+BC2 . Таким образом, приравняем их друг к другу.

72+(AD+5)2+AD2=(AD+AD+5)2

72+AD2+10AD+25+AD2=4AD2+20AD+25

-2AD2-10AD+72=0 

В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны:

х1=-3,5

x2=4 

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень.

AD=4

Соответственно

BD = AD + 5 = 9

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника:

AC = корень из (52)

BC = корень из (117).

0  

 Треугольник (Трикутник) | Описание курса | Сумма углов треугольника 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson47/

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Высота треугольника

Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Треугольники

      Определение 1. Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Рис.1

      На рисунке 1 изображена высота BD, проведённая из вершины B треугольника ABC. Точка D – основание высоты.

      Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

      Утверждение. Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Рис.2

      Доказательство. Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

      В силу признака подобия прямоугольных треугольников треугольники BCD и ACD подобны. Следовательно,

      Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD, что и требовалось доказать.

      Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольникВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника.

Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Тупоугольный треугольникВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника.

Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Остроугольный треугольник
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника.

Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Тупоугольный треугольник
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Остроугольный треугольник

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Тупоугольный треугольник

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольник

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Тупоугольный треугольник

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентрический треугольник

      Решим следующую задачу.

      Задача. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC.

Рис.5

      Решение. Рассмотрим треугольники ADC и BEC. Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

      Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники   DCE   и   ABC   подобны. Решение задачи завершено.

      Из подобия треугольников   ABC   и   EDC (рис.5) вытекает важное следствие.

      Следствие 1.

      Определение 3. Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Рис.6

      Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

      Следствие 2. Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Рис.7

      Тогда справедливы равенства

      Из следствия 2 вытекает теорема 2.

      Теорема  2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

      Доказательство. Воспользовавшись следствием 2, получаем:

что и требовалось доказать.

Задача Фаньяно

      Задача Фаньяно. Рассматриваются всевозможные треугольники   DEF,   вершины    D,   E   и   F   которых лежат на сторонах   BC,   AC и   AB   остроугольного треугольника   ABC   соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника   ABC.

      Решение. Пусть   DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом   D1   точку, симметричную точке   D   относительно прямой   AC, и обозначим символом   D2   точку, симметричную точке D относительно прямой   AB (рис.8).

Рис.8

      Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2.

Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно.

Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Рис.9

      Заметим также, что выполнено равенство

AD = AD1 = AD2.

      Кроме того, выполнено равенство

      Поэтому

      Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD  будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC.

Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC, проведённой из вершины A, а вершины E и F построены по описанной выше схеме.

Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF  треугольник с наименьшим периметром является единственным.

      Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A, длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

      Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

      Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

      Лемма. Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Рис.10

      В этом случае отрезок D1D2  проходит через точки F и E.

      Доказательство. Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

      Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2, а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

      Следовательно,

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1, F, E, D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

      Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Источник: https://www.resolventa.ru/uslugi/ege/egebase2.htm

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

    ×
    Рекомендуем посмотреть